Закон розподілу випадкового процесу. Імовірностні характеристики випадкового процесу. Кореляційна функція і її властивості

Лекція 2

План:

1. Закон розподілу випадкового процесу.

2. Імовірностні характеристики випадкового процесу.

3. Кореляційна функція і її властивості.

1.   Закон розподілу випадкового процесу

Визначення.Нехай  —  значень параметра . — мірною функцією розподілу випадкового процесу  називається функція  перемінних задовольняючій умові

              (2.1)

де .

          Визначення.  -мірною щільністю розподілу випадкового процесу  називається

                    (2.2)

Якщо змішана похідна — порядку існує.

Якщо при вивченні випадкового процесу використовується тільки щільність розподілу 1 і 2-го порядків, то говорять, що випадковий процес вивчається в межах кореляційної теорії.

У ряді випадків, як і для випадкової імовірності, для опису випадкового процесу, необов'язкове завдання закону розподілу, а досить визначення деяких характеристик, аналогічно числовим характеристикам випадкової величини. При цьому випадковий процес описується досить повно.

2.  Імовірностні характеристики випадкового процесу

Визначення.Математичним чеканням випадкового процесу  називають невипадкову величину , що при будь-якому фіксованому  збігається з математичним чеканням випадкової величини відповідного перетину випадкового процесу, тобто

                          (2.3)

де      — -танучи реалізація випадкового процесу,

           — імовірність настання -ой реалізації,

           — одномірна щільність розподілу.

Так само вводиться поняття дисперсії.

Визначення. Дисперсією випадкового процесу  називають невипадкову функцію  одному перемінної , котра при кожнім значенні  збігається з дисперсією випадкової величини відповідного перетину випадкового процесу

           (2.4),

де  — центрований випадковий процес. Тоді

                                      (2.5)

                                                           (2.6)

Її розмірність збігається з розмірністю .

3.  Кореляційна функція і її властивості

Розглянемо два випадкових процеси, заданих безліччю своїх реалізацій  і .

У цих випадкових функцій приблизно однакове математичне чекання і дисперсія, однак, характер їхнього існування різний.

Щоб врахувати ступінь залежності між перетинами випадкових функцій, що відповідають різним значенням , як і для системи випадкових величин, розглянемо кореляційні моменти значень випадкового процесу, що відповідають усім можливим значенням параметра .

Визначення. Кореляційною функцією випадкового процесу  називається невипадкова функція  двох перемінних  і , що для будь-якої пари  збігається з кореляційним моментом відповідним двом перетинам випадкового процесу (називається автоковариационной функцією).

             (2.7)

де  — центрований випадковий процес. У такий спосіб

       (2.8)

де       — перетину випадкових процесів у крапках,

          ,

           — двовимірна щільність розподілу випадкового процесу .

Якщо , то кореляційна функція перетворюється в дисперсія випадкової величини.

Кореляційна функція володіє поруч властивостей:

Властивість  1.

.                                      (2.9)

Доказ.

, тобто .

Властивість  2 (Симетричність).

.                          (2.10)

Доказ.

= .

Якщо зобразити кореляційну функцію  у виді поверхні, то ця поверхня буде симетрична щодо вертикальної площини, що проходить через бісектрису кута.

Властивість  3.

.               (2.11)

Доказ.

;.

;

           (2.12)

Часто замість кореляційної функції  розглядається нормована безрозмірна кореляційна функція  — нормована автокорреляционная функція або просто — автокореляція.

                      (2.13)

Властивості автокореляції.

Властивість  1.                                   

                               (2.14)

Доказ.

.

Властивість  2.

                        (2.15)

Властивість  3.

                            (2.16)

 — є аналогом коефіцієнта кореляції, тобто ця функція несе інформацію про ступінь залежності двох випадкових величин — двох перетинів випадкового процесу.

Приклад. Нехай  випадковий процес. ; ; .

Знайдемо

;

;

.

Приклад. Нехай , де  і  — випадкові величини.

; ; .

Знайти

.

.

Приклад.Нехай відома функція щільності розподілу другого порядку

.

Знайти   

.

Отже, перетину  при  незалежні.

 при , тому що перетини  незалежні.

Якщо , то

.