Контрольні завдання, що складаються із 25-ти задач з дисципліни “Випадкові процеси”

Контрольні завдання по дисципліні “Випадкові процеси”

Задача 1.Двовимірний закон розподілу випадкової величини ( надалі ВВ )   записується щільністю: .

Знайти усі імовірностні характеристики.

Задача  2.   ВВ  є   часткою  случаємо такої  випадкової  функції,   у   якого

відсутня залежність від часу : і описується показовим законом

розподілу, з     ( ). Знайти: , , .

Задача   3.Випадковий   процес   має   вигляд    , . — ВB, рівномірно розподілена   на   відрізку    [0,3].   Знайти   одномірну   функцію   і   щільність розподілу.

Задача 4.ВВ задана у виді . — ВВ, що підкоряється нормальному законові з параметрами , . — невипадкова константа. Знайти одномірну щільність  і , , .

Задача    5.Випадкова    функція    ,де    і —незалежні    ВВ, що підкоряються тому самому нормальному законові розподілу . Використовуючи      властивості      математичного      чекання      і      дисперсії      обчислити , ,  і одномірну щільність .

Задача 6.Задано дві щільності  і  двох випадкових незалежних ВВ і . Записати одномірну щільність процесу , .

Задача  7.Випадковий  процес заданий у виді  ,де  і   — ВВ з параметрами , . Знайти , , , , де .

Задача 8.Випадковий процес заданий у виді , де — ВB з , .

Знайти імовірностні характеристики випадкового процесу  .

Задача 9. Матеріальна крапка може знаходитися або у вершинах трикутника ABC (мал.1), або переміщатися від однієї вершини до іншої в зазначених на малюнку напрямках з відповідними імовірностями: b к. A — з імовірністю в к. B — ; b к. C— ; переміщатися від C до A з імовірністю , від C до B— , від B до A— .        

Мал. 1

 Знайти матрицю перехідних імовірностей за два кроки.

Задача 10. Ланцюг Маркова описується матрицею . Знайти фінальні імовірності.

Задача 11.Випадкова функція задана вираженням , , , .

Привести дану випадкову функцію до канонічного виду.

Задача 12. Випадковий процес завдань наступним вираженням: , де  — випадковий вектор з вектором математичних чекань  і коваріаціонною матрицею ; вектор координатних функцій .

Знайти канонічне розкладання процесу і записати автоковариаційну функцію.

Задача 13. Нехай  випадковий процес, .

Знайти .

Задача 14. Нехай , де  і  — випадкові величини. ; ; .

Знайти .

Задача 15. Випадковий процес , де  — випадкова величина така, що . Знайти імовірні характеристики випадкового процесу .

Задача 16. Задано випадковий процес , де  — дійсна невипадкова величина,  — випадкова величина, де А — амплітуда,  — зрушення по фазі, А і  незалежні випадкові величини, , ,  — рівномірний        розподіл        випадкової       величини        на        ,       тобто . Знайти .

Задача 17. Узагальнений телеграфний сигнал .

Імовірність зміни знака на інтервалі не залежить від того, що відбувалося поза цим інтервалом. Імовірність того, що протягом інтервалу тривалістю  відбудеться змін знака випадкової величини :

, ,

 — середнє число змін значень випадкового процесу в одиницю години. Знайти імовірні характеристики узагальненого телеграфного сигналові й установити безперервність телеграфного сигналові.

Задача 18.Випадкова функція  задана у виді , де  – випадкова величина, розподілена по нормальному законі з параметрами , ;  – не випадкова величина. Знайти одномірну щільність розподілу  перетину випадкової функції  і її характеристик: , , .

Задача 19.Дано характеристики нормального випадкового процесу : , , . Відомо, що в момент  випадковий процес знаходиться в стані  . Знайти умовну імовірність  того, що в момент часу  випадковий процес  буде належати деякої області :

.

Задача 20.Задано випадкову функцію , де і  – некоррелированные випадкові величини з характеристиками: ; , . Знайти характеристики випадкової функції .

Задача 21.Розглядається лінійне перетворення  випадкових процесів  виду  де  – невипадкові функції часу. Відомі характеристики випадкових процесів : , ,  , а також взаємні кореляційні функції  . Знайти характеристики випадкового процесу .

Задача 22.Знайти математичне чекання і кореляційну функцію суми двох некоррелированных випадкових функцій  і  з характеристиками: ; ; ; .

Задача 23.Комплексна випадкова функція  задана у виді , де

; .

 Математичні чекання усіх випадкових величин  і   дорівнюють нулеві, а кореляційна матриця системи випадкових величин  має вигляд

Знайти характеристики випадкової функції .

Задача 24.Кореляційна функція добутку. Розглядаються дві некореліровані центровані випадкові функції ,  і їхній добуток .

Довести, що кореляційна функція добутку дорівнює добуткові кореляційних функцій співмножників: .

Задача 25.Випадкова функція  має характеристики ; . Визначити характеристики випадкових функцій

; ; .

Задача 26.Характеристики інтеграла від випадкового процесу. Мається випадковий процес  і дані його характеристики: , . Знайти характеристики ,  інтеграла цього випадкового процесу , а також взаємну кореляційну функцію .

Задача 27.Розглядається випадкова функція , де  — центрована випадкова величина з дисперсією ;  — випадкова величина, розподілена з постійною щільністю в інтервалі , a  — невипадковий параметр . Випадкові величини  і  незалежні. Знайти характеристики випадкової функції : математичне чекання, кореляційну функцію. Визначити, чи є випадкова функція  стаціонарної і эргодической. Якщо вона стационарна, то знайти її спектральну щільність .

Задача 28.* Ознака позитивної визначеності. Мається функція , що володіє властивостями: 1) ; 2) ; 3) .

Потрібно з'ясувати, чи може функція  бути кореляційною функцією стаціонарної випадкової функції, тобто чи володіє вона властивістю позитивної визначеності. Показати, що достатньою умовою позитивної визначеності є умова, щоб функція

                                           (*)

була ненегативна при будь-якому значенні :

                                                          (**)

т. е. щоб, обчислюючи спектральну щільність по формулі (*), ми ні при яких  не одержували негативних значень цієї функції.

Задача 29.* Визначити, чи володіє функція   властивостями кореляційної функції.

Задача 30. Чи володіє функція  властивостями кореляційної функції?

Задача 31.Випадкова функція  має характеристики ; . Знайти її спектральну щільність.

Задача 32.Випадкова функція  задана власним канонічним розкладанням

,

де  — центровані випадкові величини з дисперсіями  ;  при ;  — не випадкова величина. Знайти , , .                                            

Задача 33.Мається комплексна випадкова функція , де  — мнима одиниця; , — некореліровані випадкові функції з характеристиками

; ; ; .

Знайти характеристики випадкової функції : , , .

Задача 34.Розглядається випадковий процес , де  — стаціонарні некореліровані випадкові процеси з характеристиками: ; ;  ;  — дійсні числа. Знайти характеристики випадкового процесу .

Задача 35.  Довести, що:

а) ;

б) .