Додаткові відомості з теорії матриць: мінімальний многочлен, функція від матриці

2.3 Додаткові відомості з теорії матриць: мінімальний многочлен, функція від матриці

Розглянемо многочлен (цілую раціональну функцію) з коефіцієнтами з поля K:

Нехай  – квадратна матриця. Тоді під многочленом від матриць будемо розуміти матрицю:

                                      (2.43)

Многочлен називається многочленом, що анулює, квадратну матрицю A, якщо g(A) = 0.

Анулірующий многочлен y(l) найменшого степеня зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, називається мінімальним многочленом матриці А. Можна показати, що будь-який многочлен, що анулює, матрицю A ділиться без залишку на її мінімальний многочлен. Дійсно, розділимо довільний многочлен, що анулює,  на мінімальний , тоді:

де  менше степеня . Тоді, поклавши , одержимо:

З огляду на те, що g(A) = 0 й y(A) = 0 з останньої рівності одержуємо, що r(A) = 0. Але степінь r(l) менше степеня мінімального многочлена y(l), тобто r(l) не може бути многочленом, що анулює, і тому .

Легко показати, що для даної матриці A існує єдиний мінімальний многочлен. Доведемо від супротивного, припустивши, що існує два мінімальних многочлени  і  для однієї й тієї ж матриці. Тоді кожний з них повинен ділитися без залишку на іншій. А це значить, що вони можуть відрізнятися лише постійним множником. Але цей множник дорівнює одиниці, тому що старші коефіцієнти многочленів  і   дорівнюють одиниці. Отже  і  збігаються.

Встановимо зв'язок між мінімальним і характеристичним многочленом матриці. Для невиродженої матриці  має місце рівність:

де

де  – приєднана матриця до матриці A. Запишемо останню рівність для характеристичної матриці (E - A:

де B(l) – матриця, елементи якої – алгебраїчні доповнення елементів визначника  Помноживши отриману рівність на многочлен , одержуємо тотожну рівність відносно l:

                                            (2.44)

З огляду на те, що кожен елемент матриці B(l) ділиться на – найбільший загальний дільник всіх мінорів (n-1)-го порядку характеристичної матриці lE – A, можна записати:

де  - деяка многочленна матриця, «приведена», приєднана матриця для (E - A. Підставивши вираз  в (2.44), одержуємо:

                                      (2.45)

Звідси треба, що ділиться без залишку на тобто:

                                                 (2.46)

де  – многочлен (частка). У цьому можна переконатися й безпосередньо. Після ділення (2.45) на маємо:

                                                            (2.47)

Отже,  тобто –  многчлен, що анулює, матрицю. Можна показати, що  є мінімальним многочленом й

                                   (2.48)

де   (k = 1,2,…,u)...

Приклад. Знайти мінімальний многочлен матриці

Розв’язання. Використаємо формулу (2.46):

Найбільший загальний дільник всіх мінорів 2-го порядку

Тому мінімальний многочлен має вигляд:

Приклад.Знайти матриці

Розв’язання. Обчислимо:

Найбільший загальний дільник всіх мінорів 2-го порядку Тоді по формулі (2.46) одержуємо:

Введемо поняття функції від матриці. Нехай задана функція скалярного аргументу f(l), і її необхідно поширити на матричне значення аргументу, тобто визначити f(A), де (k,l = 1,2,…,n)... Поняття многочлена від матриці (цілої раціональної функції) було визначено вище (2.43). Визначимо f(A) у загальному випадку, використовуючи поняття многочлена від матриці.

Нехай мінімальний многочлен матриці A має вигляд (2.48), де – всі різні характеристичні числа матриці A. Очевидно, що ступінь мінімального многочлена дорівнює:

Припустимо, що є два многочлени  і , для яких:

g(A) = h(A).                                                      (2.49)

Тоді різниця останніх  буде многочленом, що анулює, для матриці A і тому буде ділитися на  без залишку. Отже, з огляду на (2.48) мають місце рівності:

або:

 (i = 1,2,…,u)...

Тоді m чисел:

       (i =1,2,…,u)                                  (2...50)

називають значеннями функції f(l) на спектрі матриці A, і сукупність цих значень символічно позначають через Якщо для функції f(l) існують значення (2.50), тобто мають сенс, то будемо думати, що функція визначена на спектрі матриці A.

Так, наприклад, якщо мінімальний многочлен y(l) від матриці A не має кратних нулів (у рівності (2.48) ), те f(A) має сенс у тому випадку, коли f(l) визначена у всіх характеристичних точках, тобто для значень аргументу (j = 1,2,…,u), рівним різним характеристичним числам матриці A. Якщо ж  має кратних корінь, то в деяких характеристичних точках повинні бути визначені й похідні від  до відомого порядку, що треба з (2.50). Таким чином, рівність виду (2.49) указує, що многочлени  і  мають ті самі значення на спектрі матриці A, тобто:

Отже, для даної матриці A значення многочлена  на спектрі матриці A цілком визначають матрицю g(A), і всі многочлени , які приймають ті самі значення матриці A, мають те саме матричне значення g(A).

Аналогічно, при визначенні f(A) у загальному випадку будемо походити з того, що значення функції  на спектрі матриці A повинні повністю визначити f(A), тобто всі функції , що мають ті самі значення на спектрі матриці A, повинні мати те саме матричне значення f(A). В окремому випадку, коли  є многочлен, потрібно із загального випадку одержати той же частинний результат, що й при безпосередній підстановці в многочлен замість  матриці A. Тому, виходячи із зазначених вимог, при визначенні f(A) у загальному випадку досить знайти такий многочлен , що мав би однакові значення на спектрі матриці A, що й , а потім покласти f(A) = g(A).