Отже, якщо функція визначена на спектрі
матриці A, те:
f(A) = g(A),
де -
будь-який многочлен, що приймає того ж значення на спектрі матриці A, що й
,
тобто:
Серед всіх многочленів з комплексними коефіцієнтами, що приймає ті ж
значення, що й , є лише один многочлен
степеня менше m. Цей многочлен однозначно
визначається інтерполяційними умовами:
(k = 1,2,…,u) (2...51)
Многочлен r(l) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сильвестра для функції f(l) на спектрі матриці A. Його побудову в загальному випадку відомо. В окремому випадку, коли характеристичний і мінімальний многочлени мають лише одне характеристичне число (u = 1), тобто:
інтерполяційний многочлен
Лагранжа-Сильвестра дорівнює сумі m членів розкладання Тейлора по степенях для функції f(l):
(2.52)
Отже, можна сформулювати визначення для функції матричного аргументу, скориставшись поняттям інтерполяційного многочлена:
Якщо - функція, визначена на спектрі матриці A,
a
- відповідний інтерполяційний многочлен
Лагранжа-Сильвестра, то:
(2.53)
Приклад 15. Для функції побудувати функцію матричного
аргументу f(A), якщо:
Розв’язання. Мінімальний многочлен для матриці A має вигляд . Тому значеннями функції f(l) на спектрі матриці A
будуть числа
а це значить, що інтерполяційний
многочлен Лагранжа-Сильвестра має вигляд:
Отже, з огляду на (2.53), одержуємо:
(2.54)
Приклад 16. Для функції f(l) побудувати функцію матричного аргументу f(J), якщо
Очевидно, що тому
З
формули (2.48) треба, що мінімальний многочлен для матриці J має вигляд:
Тоді інтерполяційний многочлен для
функції
визначиться рівністю
Тоді, з огляду на (2.54), одержуємо:
(2.55)
У загальному випадку інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра можна визначити з тотожності
Лагранжа-Сильвестра:
0 (2.56),
де
– лінійно незалежні многочлени ступеня не
вище
(j = 1,2,…,u)... При цьому
де
–
кратність характеристичного числа в мінімальному многочлені;
тут n і
відповідно
розмірність і ранг матриці
Приклад 17. Для функції f(l) побудувати функцію матричного аргументу f(A), якщо
Розв’язання. Характеристичний многочлен матриці A має вигляд:
Тоді є характеристичним (власним) числом матриці
A кратності
й
–
кратності
. Для першого власного числа
, де
– ранг матриці:
рівний Тоді
й
(тут
–
кратність характеристичного числа). Для
знаходимо
Мінімальний многочлен матриці A має вигляд:
Як система вибираємо многочлени l – 2 й l – 3.
Тогда по формулі (2.56) одержуємо:
Тоді або
Перелічимо деякі властивості функцій від матриць, що становлять інтерес для лінійних систем диференціальних рівнянь.
1. Якщо A - квазідіагональна матриця
(2.57)
то
2. Якщо дві матриці A й B подібні й матриці U перетворить A в B, тобто
то матриці f(A) і f(B) подібні, і та ж матриця U перетворить f(A) в f(B), тобто
(2.58)
3. Якщо – характеристичні числа матриці
A n-го порядку, то
– система характеристичних чисел
матриці f(A).
Тому що довільна матриця n-го порядку завжди
приводиться перетворенням подоби до нормального жорданової формі J
то відповідно до властивості 2 для функцій матричного аргументу, завжди має:
Остання рівність у розгорнутому виді записується:
(2.59)
Приклад 18. Нехай задана деяка квадратна матриця J n-го порядку в нормальної жорданової формі:
У недіагональних блоках всі її елементи дорівнюють нулю. Знайдемо f(J).Відповідно до формул (2.55), (2.57) одержуємо:
Дамо останній матриці номер (2.60).
Тут, як й у матриці J, всі елементи в недіагональних блоках дорівнюють нулю.
Розглянемо як функція експонентну функцію
скалярного аргументу:
.
(2.61)
Нехай мінімальний многочлен постійної матриці A має вигляд (2.48), де – всі різні характеристичні числа матриці
A. Тоді m чисел (2.50)
для функції
мають сенс і визначають значення
експонентної функції
на спектрі матриці A для всіх кінцевих
характеристичних чисел
(j = 1,2,…,u)... Отже, для всіх
кінцевих матриць (матриць із кінцевими елементами) експонентна функція
матричного аргументу має сенс і відповідно, згідно (2.60), визначається
матричним статечним рядом:
, (2.62)
збіжної для будь-якої кінцевої матриці A, а його сумою є експонентна функція матриці A.
Якщо замість постійної матриці A розглянути матрицю:
(2.63)
елементи якої є обмеженими функціями на розглянутому
інтервалі зміни t, те:
.
(2.64)
Нехай матриця Z(t) диференціювана матриця, і Z комутирує зі своїй
похідній (2.13). Тоді з (2.63) з урахуванням
(2.14), формальним диференціюванням знаходимо матричний ряд для похідної:
;
(2.65)
Зокрема, якщо Z(t) = At , де A - постійна матриця, тобто:
(2.66)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.