Додаткові відомості з теорії матриць: мінімальний многочлен, функція від матриці, страница 2

Отже, якщо функція  визначена на спектрі матриці A, те:

f(A) = g(A),

де  - будь-який многочлен, що приймає того ж значення на спектрі матриці A, що й , тобто:

Серед всіх многочленів з комплексними коефіцієнтами, що приймає ті ж значення, що й , є лише один многочлен  степеня менше m. Цей многочлен однозначно визначається інтерполяційними умовами:

 (k = 1,2,…,u) (2...51)

Многочлен r(l) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сильвестра для функції f(l) на спектрі матриці A. Його побудову в загальному випадку відомо. В окремому випадку, коли характеристичний і мінімальний многочлени мають лише одне характеристичне число (u = 1), тобто:

інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра дорівнює сумі m членів розкладання Тейлора по степенях для функції f(l):

                                       (2.52)

Отже, можна сформулювати визначення для функції матричного аргументу, скориставшись поняттям інтерполяційного многочлена:

Якщо  - функція, визначена на спектрі матриці A, a  - відповідний інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра, то:

                                                        (2.53)

Приклад 15. Для функції  побудувати функцію матричного аргументу f(A), якщо:

Розв’язання. Мінімальний многочлен для матриці A має вигляд . Тому значеннями функції f(l) на спектрі матриці A будуть числа  а це значить, що інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра має вигляд:

Отже, з огляду на (2.53), одержуємо:

                          (2.54)

Приклад 16. Для функції f(l) побудувати функцію матричного  аргументу f(J), якщо

Очевидно, що тому З формули (2.48) треба, що мінімальний многочлен для матриці J має вигляд:

Тоді інтерполяційний многочлен для функції визначиться рівністю

Тоді, з огляду на (2.54), одержуємо:

                                (2.55)

У загальному випадку інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра можна визначити з тотожності Лагранжа-Сильвестра:

0           (2.56),

 де – лінійно незалежні многочлени ступеня не вище (j = 1,2,…,u)... При цьому  де – кратність характеристичного числа в мінімальному многочлені; тут n і  відповідно розмірність і ранг матриці

Приклад 17. Для функції f(l) побудувати функцію матричного аргументу f(A), якщо

Розв’язання. Характеристичний многочлен матриці A має вигляд:

Тоді є характеристичним (власним) числом матриці A кратності  й – кратності . Для першого власного числа , де – ранг матриці:

рівний  Тоді  й   (тут – кратність характеристичного числа). Для  знаходимо 

Мінімальний многочлен матриці A має вигляд:

Як система вибираємо многочлени l – 2  й  l – 3.

Тогда по формулі (2.56) одержуємо:

Тоді  або

Перелічимо деякі властивості функцій від матриць, що становлять інтерес для лінійних систем диференціальних рівнянь.

1. Якщо A - квазідіагональна матриця

                                                   (2.57)

то

2. Якщо дві матриці A й B подібні й матриці U перетворить A в B, тобто

то матриці f(A) і f(B) подібні, і та ж матриця U перетворить f(A) в f(B), тобто

                                                     (2.58)

3. Якщо  – характеристичні числа матриці A n-го порядку, то – система характеристичних чисел матриці f(A).

Тому що довільна матриця  n-го порядку завжди приводиться перетворенням подоби до нормального жорданової формі J

то відповідно до властивості 2 для функцій матричного аргументу, завжди має:

Остання рівність у розгорнутому виді записується:

                                              (2.59)

Приклад 18. Нехай задана деяка квадратна матриця J n-го порядку в нормальної жорданової формі:

У недіагональних блоках всі її елементи дорівнюють нулю. Знайдемо f(J).Відповідно до формул (2.55), (2.57) одержуємо:

Дамо останній матриці номер (2.60).

Тут, як й у матриці J, всі елементи в недіагональних блоках дорівнюють нулю.

Розглянемо як функція  експонентну функцію скалярного аргументу:

 .                                        (2.61)

Нехай мінімальний многочлен постійної матриці A має вигляд (2.48), де – всі різні характеристичні числа матриці A. Тоді m чисел (2.50) для функції  мають сенс і визначають значення експонентної функції на спектрі матриці A для всіх кінцевих характеристичних чисел (j = 1,2,…,u)... Отже, для всіх кінцевих матриць (матриць із кінцевими елементами) експонентна функція матричного аргументу має сенс і відповідно, згідно (2.60), визначається матричним статечним рядом:

,                                          (2.62)

збіжної для будь-якої кінцевої матриці A, а його сумою є експонентна функція матриці A.

Якщо замість постійної матриці A розглянути матрицю:

                                            (2.63)

елементи якої є обмеженими функціями на розглянутому інтервалі зміни t, те:

.                                          (2.64)

Нехай матриця Z(t) диференціювана матриця, і Z комутирує зі своїй похідній  (2.13). Тоді з (2.63) з урахуванням (2.14), формальним диференціюванням знаходимо матричний ряд для похідної:

;

                                   (2.65)

Зокрема, якщо Z(t) = At , де A - постійна матриця, тобто:

                                                   (2.66)