Автокореляційна функція. Рішення типових прикладів

Лекція 13

План:

1.  Автокореляційна функція.

2.  Рішення типових прикладів.

1.  Автокореляційна функція

Визначення. Кореляційної (або «автокореляційної») функцією випадкової функції  називається невипадкова функція двох аргументів , що при кожній парі значень аргументів ,  дорівнює кореляційному моментові відповідних перетинів випадкової функції:

,                  (13.1)

де  – центрована випадкова функція.

При  кореляційна функція перетворюється в дисперсію випадкової функції:

        (13.2)

Основні властивості кореляційної функції:

, тобто функція  не міняється при заміні  на  (симетричність);

;

функція  – позитивно визначена тобто , де  – будь-яка функція,  – будь-яка область інтегрування, однакова для обох аргументів.

Для нормальної випадкової функції характеристики ,  є вичерпними і визначать собою закон розподілу будь-якого числа перетинів.

Нормованою кореляцією випадкової функції  називається функція

,   (13.3)

т. е. коефіцієнт кореляції перетинів  і ; при  .

Випадковий процес  називається процесом з незалежними збільшеннями, якщо для будь-яких значень аргументу  випадкові величини збільшення функції

; ; ...;    (13.4)

незалежні.

Визначення. Нормальний випадковий процес з незалежними збільшеннями називається винеровським випадковим процесом, якщо його математичне чекання дорівнює нулеві, а дисперсія збільшення пропорційна довжині відрізка, на якому воно досягає:

; ,                                              (13.5)

де  — постійний коефіцієнт.

При додатку до випадкової функції  невипадкового доданка  до її математичного чекання додається той же невипадковий доданок, а кореляційна функція не міняється.

При множенні випадкової функції  на невипадковий множник  її математичне чекання збільшується на той же множник , а кореляційна функція – на .

Якщо випадкову функцію  піддають деякому перетворенню , то виходить інша випадкова функція .

Перетворення  називається лінійним однорідним

1)

(т. е. перетворення до суми може застосовуватися почленно);

2)

(т. е. множник , незалежно від аргументу , по якому вироблятися перетворення, можна виносити за знак перетворення).

Перетворення  називається лінійним неоднорідним, якщо

,

де  — не випадкова функція.

Якщо випадкова функція  зв'язана з випадковою функцією  лінійним перетворенням ., те її математичне чекання  виходить з  тем же лінійним перетворенням:

,     (13.6)

а для перебування кореляційної функції  потрібно двічі піддано функцію  відповідному лінійному однорідному перетворенню: один раз по  інший раз по :

.            (13.7)

Взаємною кореляційною функцією  двох випадкових функцій  і  називається функція

.                          (13.8)

З визначення взаємної кореляційної функції випливає, що

.

Нормованою взаємною кореляційною функцією двох випадкових функцій  і  називається функція

.                                  (13.9)

Випадкові функцій  і  називаються некорелірованими, якщо

.

Якщо , то ,

.

Якщо випадкові функції  і  некореліровані, то

.                                     (13.10)

Якщо

,                                              (13.11)

де , , …...,  – некореліровані випадкові функції, тоді

, .

При виконанні різних перетворень з випадковими функціями часто буває зручно записувати них у комплексному виді. Комплексною випадковою функцією називається випадкова функція виду

,                                            (13.12)

де ,  — дійсні випадкові функції,  — мнима одиниця.

Математичне чекання, кореляційна функція і дисперсія комплексної випадкової функції визначаються в такий спосіб:

, ,                (13.13)

де чорної вгорі позначена комплексна сполучена величина, а

.                                  (13.14)

При переході до комплексних випадкових величин і функцій  необхідно визначати дисперсію як математичне чекання квадрата модуля, а кореляційний момент — як математичне чекання добутку центрованої однієї випадкової величини на комплексну сполучену центрованою дугою.

2. Рішення типових прикладів

Задачі даного параграфа належать до двох основних типів. У задачах першого типу потрібно визначити кореляційну функцію випадкової функції, використовуючи властивості її ординат, або установити загальні властивості кореляційної функції. При рішенні цих задач потрібно безпосередньо виходити з визначення кореляційної функції. У задачах другого типу потрібно знайти імовірність того, що ординати нормальної випадкової функції приймуть визначені значення. Для рішення цих задач необхідно скористатися відповідним нормальним законом розподілу, обумовленим математичним чеканням і кореляційною функцією.

Приклад 1. Визначити кореляційну функцію , якщо

,

де  — задані числа, а речовинні випадкові величини  і , взаємно не коррелированны, мають нульові математичні чекання і дисперсії, обумовлені рівностями

  (j=1,2,…,k)

Рішення. Тому що , те по визначенню кореляційної функції

.

Розкриваючи дужки і застосовуючи теорему про математичне чекання, зауважуємо, що всі доданки, що містять множники виду  при j≠ l і  при будь-яких j і l дорівнюють нулеві, а . Тому

Приклад 2. Нехай  — нормальна стаціонарна випадкова функція, математичне чекання якої дорівнює нулеві. Довести що якщо

те

де  – нормована кореляційна функція .

Рішення. Користуючись тим, що  нормально, щільність імовірності другого порядку можемо представити у виді

Шукане математичне чекання може бути представлене у виді

Тому що  – тотожно дорівнює нулеві в тому випадку, коли знаки в ординат х₁ і х₂ різні, і дорівнює одиниці в протилежному випадку, те

що після виконання інтегрування дає результат, зазначений в умові задачі. (При інтегруванні зручно ввести нові перемінні , , поклавши .)