Изучение зависимостей полезной мощности и К.П.Д источника питания от нагрузки (лабораторная работа), страница 12

                                                                                                                (п.1)

и задача состоит в определении коэффициентов а и . Проводится серия измерений величины  и соответствующих значений , что дает набор экспериментальных точек . За счет погрешностей измерений эти точки, вообще говоря, не лежат на одной прямой.  Требуется подобрать оптимальную прямую, к которой наиболее близки все экспериментальные точки, то есть сумма квадратов вертикальных отклонений точек от искомой прямой должна быть минимальна. Следовательно, требуется найти значения коэффициентов а и , при которых достигается минимум выражения

                                                      .                                (п.2)

Условия минимума – равенство нулю частных производных по а и  от выражения (п.2) – дают систему уравнений

                                                                                       (п.3)

Решая ее, находим значения коэффициентов

                                                   ,                                   (п.4)

                                                     .                                         (п.5)

Для того, чтобы убедиться, что связь между переменными удовлетворительно описывается линейной зависимостью, вычисляют коэффициент корреляции

                                                 .                                   (п.6)

Он подчиняется условию: . Чем ближе  к единице, тем теснее точки группируются около прямой линии. Среднеквадратичные погрешности в определении коэффициентов вычисляются по формулам

                                                     ,                                         (п.7)

                                                .                            (п.8)

Все  эти вычисления можно провести на ЭВМ по имеющейся программе . При этом, чтобы записать формулу вида (8) в виде (п.1), нужно обозначить

                                              .                                (п.9)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ

ОПТИМИЗАЦИИ НЕПОЛНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

         Рассмотрим случай, когда между физическими величинами имеется следующая зависимость

                                                              .                                           (п.10)

При этом коэффициенты а и  можно найти, минимизируя выражение

                                                    .                               (п.11)

Вычисляя частные производные от выражения (п.11) по а и , и приравнивая их нулю, получаем систему уравнений, решая которую, находим

                                             ,                             (п.12)