Метод Монте-Карло в вычислительных задачах

Министерство образования и науки Украини

Сумський государственный университет

Кафедра прикладной математики

Курсовая  работа

по курсу

 “Численные методы”

по теме

“Метод Монте-Карло в вычислительных задачах”

      Виполнил: студент групи ПМ-81

Русаков С.Л.

Проверил : доц. Назаренко Л. Д.

Суми 2001

В реальной жизни различные задачи в области экономики, биологии, физики подчиняются определенным законам. Однако на систему могут оказывать влияние случайные факторы, и в большинстве случаев необходимо оценить это влияние.

            Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого оказывают влияние случайные факторы. Для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями можно искусственно придумать вероятностную модель, позволяющую решать эти задачи.

В вероятностных задачах, очевидно, необходимо определять вероятностные характеристики случайных величин – математическое ожидание и дисперсию. В работе рассмотрен пример моделирования системы массового обслуживания.

Понятие мат. ожидания тесно связано с понятием опред. интеграла. Если случ. фактор  зависит от нескольких параметров, т.е. он многомерный, то решается задача о вычислении кратных интегралов.

1.  Общая схема метода Монте-Карло

По известным формулам теории вероятности

Преобразовав его, получим

отсюда следует, что при больших n

          2. Вычисление определенного интеграла

Пусть необходимо вычислить интеграл

         

выбираем произвольную плотность распределения p(x), определенную на (a,b). Выберем случайную величину

Тогда

Рассмотрим N независимых случайных величин и применим к их сумме центральную предельную теорему

При больших N имеем оценку

далее задаемся N, выбираем N случайных величин и по последней формуле вычисляем значение интеграла.

3.  Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло

Пусть дан интеграл

             

              Интеграл численно равен объему 2-мерного цилиндроида, на основании G и ограниченным сверху поверхностью

Пусть a_{j ,} A_j  соответственно нижние и верхние пределы интегрирования.

Возьмем область интегрирования внутри 2-мерного параллепипеда со сторонами (A₁-a₁)(A₂-a₂). Возьмем внутри N  случайных точек, тогда

            для тех точек, которые попали в область интегрирования

            Искомый интеграл равен

Алгоритм расчета:

  1)  выбираем число испытаний

  2)  вычисляем по формуле  x[j] = a[j] + (A[j]-a[j])*- точки разбиения

3)  вычисляем значение I

3.  Система массового обслуживания

Имеется n линий, каждая из которых может обслуживать заявки за время tz. Момент поступления заявки – случайная величина. Если линия занята, то заявка передается свободной линии, в случае, если заняты все линии, система выдает отказ. Необходимо в среднем определить, сколько заявок обслужит система за время Т.

В работе разыгрывается время поступления следующей заявки в соответствии с методом Монте-Карло и моделируется процесс работы системы. Испытание повторяется N раз и затем результаты усредняются.