Знайти ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно М раз

13           Знайти ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно М раз, якщо ймовірність настання А в кожному з них однакова і дорівнює  р.

              Додаткова інформація. а) n; M; p, б)n; M; p.

13.1        a)8; не менше 2 і менше 6; 0,01

              б) 300;мене 71; 0,2

Розв’язок.

 Нехай

А – подія, задана умовою а);

В – подія задана умовою б).

Тоді

 а) ймовірність Р(А), враховуючи відносно невелике n, шукаємо використовуючи формулу Бернуллі, точніше одну з її властивостей,

P(A)=

Маємо

P(A)==

= 

=

=

=

+=

=0,002690…

б)           Ймовірність Р(В) шукаємо використовуючи інтегральну теорему Муавра-Лапласа

P_n(а,b)

Маємо

P(B)=P₃₀₀(0;70)

             

Відповідь: Р(А)=0,002600...; Р(В)=0,9251

13.2        а) 300; 2 або 3; 0,01

              б) 300; більше 190 і не більше 193; 0,6.

Розв’язок.

 Нехай

              А – подія задана умовою а);

              В – подія задана умовою б).

Тоді а), оскільки р=0,01 < 0,1 і npq=300·0,01·0,99=3·0,99 < 9 

Ймовірність Р(А) шукаємо за формулою Пуасона

Маємо:

б)           ймовірність Р(В), оскільки

 р=0,6 > 0,5 і npq=300·0,6·0,4 = 72 > 10,

шукаємо за формулою Мавра - Лапласа

Маємо

          

          

Відповідь: Р(А)=0,4480...;  Р(В)=0,05218...

15           Дана рівність, яка на заданому проміжку визначає функцію (щільність) розподілу неперервної випадкової величини X. Потрібно: а) знайти параметр  і щільність (функцію) розподілу, виписати задану і знайдену функцію  і побудувати її графіки; б) обчислити числові характеристики  і ймовірність .

Додаткова інформація:  або  та її область ненульових значень; .

15.1       

Розв’язок.

а) Параметр А шукаємо з умови, що  на правому кінці її область ненульових значень дорівнює.

.

Отже

    (А)

Знайдемо щільність розподілу , використовуючи співвідношення .

Маємо

Отже

            (В)

Графіки F(x) i f(x), приблизно мають вид

                      y                                                            

                                                      y=F(x)                               

              1  _‑‑‑                                                       

                             |          |          |

                   0       1        2         3               x                                      

                                                                                           (C)

                      y

             2  ‑‑                         

                                                y=f(x)     

             1  ‑‑                                  

                             |          |          |

                   0       1         2        3        x

б)           Шукаємо числові характеристики  випадкової     величини X.

;

;

ю

Шукаємо ймовірність

=

 .

Відповідь:  ;

 .

15.2       

Розв’язок

а) Параметр А шукаємо з умови

Маємо

,

.

Отже

                     (А)

Знаходимо функцію розподілу F(x) використовуючи  співвідношення

.

Отже

Графіки F(x) i f(x), приблизно , мають вид

                       y

                                                  y=F(x)

 

                            |         |         |

                    0     1        2        3                  x                         

                       y

              

                                                    y=f(x)

                            |         |        |

                    0     1        2       3              x

б) Шукаємо числові характеристики випадкової величини X.

 ;

=

 ;

 .

Шукаємо ймовірність

 .

Відповідь:

 .

17 Двовимірна випадкова величина  має рівномірний розподіл в області . Потрібно: а) знайти роз­поділи  ;  б) обчислити   , ;  в) виписати коваріаційну матрицю, вияснити  залежні (незалежні), корельовані (не­корельовані).

17.1 .

Розв’язок

а) Шукаємо розподіли враховуючи, що випадкова ве­личина  рівномірно розподілена лише в області  площини , а не на всій площині .

      (А)

-

де інтеграл справа в  є інтегралом від параметра .

                              

-

 де інтеграл справа в  є інтегралом від параметра .

                             

-

 інтеграл із змінними верхніми межами інтегрування.

Тут

- числа, - функції.

1.

, оскільки в цій області .

2.

Звичайно ж можна для області 2 знайти і таким способом

3.

Або

4.

5.

Або

6.

7.

Таким чином

                             

де  — інтеграл із змінною верхнею межею інтегрування.

                              

-

де  — інтеграл із змінною верхнею межею інтегрування.

                                 

                                             

                            

 — функція регресії  на  (або умовне математичне сподівання складової  при заданому ) є непе­рервною випадковою величиною із щільністю розподілу . Знаходиться  за формулою

,

де — функції .

Отже

                                           

 — функція регресії  на  (або умовне математичне сподівання складової  при заданому ) є непе­рервною випадковою величиною із щильністю розподілу . Знаходять  за формулою

,

де — функції .

Отже

Таким чином

                                             

б) Обчислюємо числові характеристики

 

 — умовне математичне сподівання складової  при умові  є число, яке визначається формулою

,

де — числа.

Отже

                                                   

 — умовне математичне сподівання складової  при умові  є число, яке визначається формулою

,

де  — числа.

Отже

                                     

в) випишемо коваріаційну матрицю

Випадкові величини  залежні, оскільки, наприклад,

 

і корельовані, оскільки

.

Відповідь: розподіли

X,Y — залежні, корельовано.