Статистические аспекты имитационного моделирования (Раздел 8 учебного пособия "Моделирование систем")

8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

8.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ

        В общем случае исследуемая система может содержать элементы, свойства которых и поведение имеют некоторую неопределенность (случайность). Исследование таких (стохастических) объектов основывается на теории вероятности и математической статистики.

        Стохастическим процессом называется упорядоченный временной набор случайных чисел.

        Реализацией стохастического процесса является набор выборочных участков - временных рядов. Каждый прогон имитационной модели дает временные ряды изучаемых стохастических процессов.

        Стохастический процесс называется стационарным, если закон поведения (распределение) случайных величин (СВ) любой его реализации не зависит от времени.

        Эргодическим называется процесс, свойства которого могут быть оценены по результатам одного временного ряда.

        Эксперимент. Эксперимент  является процедурой или процессом, который можно наблюдать, но результат которого нельзя точно предсказать ( в противном случае эксперимент не нужен). Множество всех полученных результатов одного и того же повторяемого стохастического эксперимента называется пространством  выборок. Обработка результатов может дать новые знания (новый результат).  может быть дискретным (конечным) или непрерывным.

8.2. ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность является мерой возможности. Формальной мерой вероятности является функция , которая удовлетворяет следующим аксиомам:

        1. 0 £ () £ 1 для любого  (например бросание монеты).

     2. () = 1 для достоверного пространства  (орел, решка).

3. (ÈÈÈ…) = () +()+ () +… для взаимоисключающих

 экспериментов , , ,… ((орелÈрешка) = (орел) +(решка)).

        Вычисление вероятности основывается на законах теории вероятности, теории множеств, комбинаторном анализе.

        Вероятностные характеристики СВ. Каждая СВ характеризуется вероятностью появления. Закон поведения (распределение) СВ также может быть вероятностным.

        Вероятностное распределение представляет собой некоторое правило задания вероятности для каждого из всех возможных значений случайной переменной . Правило задания вероятности имеет две формы в зависимости от того, является СВ дискретной или непрерывной. Дискретная СВ (ДСВ) принадлежит конечному множеству значений, непрерывная СВ (НСВ) - континууму значений.

        Для дискретной СВ вероятность  каждого ее значения Πзадается функцией вероятности (), принимающей для = значение

() = (=),  где 0 £ () £ 1, () = 1.

Альтернативой функции вероятности является функция распределения ():

 () = (£),

что означает вероятность того, что  примет значение не больше, чем . Свойства ():

1)  0 £ () £ 1;      2)  (-¥) = 0;     3. (+¥) = 1.

Функции () и ()  связаны между собой:

() = () .

Для непрерывных СВ вероятность () = 0. Поэтому для них введено понятие функции плотности вероятности (). Функция () должна удовлетворять условиям:

1) () ³ 0;    2) () = 1.

Функции (), () и () связаны друг с другом:

1)  (££) = ();  2) () = () = (£).

Первое выражение определяет вероятность того, что на интервале  СВ примет значение из этого интервала. Последнее выражение дает функцию распределения для непрерывной СВ.

Математическое ожидание и моменты. Математическим ожиданием (МО)  СВ является значение, равное

[] = () для ДСВ;

[] = () для НСВ.

Таким образом, математическим ожиданием является взвешенная по вероятности средняя величина всех возможных значений ; -м моментом называется значение [], равное

                                 [] = () для ДСВ;

                                 [] = () для НСВ.

МО есть [] при  = 1 и называется первым моментом.

        Вариацией -го момента называется -й момент среднего:

                                 .

Особое значение в теории вероятности имеет второй момент среднего, называемый дисперсией:

 = .

Ковариацией случайных величин  и  называется величина

                        .

С ковариацией связан коэффициент корреляции

                                 .

При > 0 с ростом  растет и . При < 0 увеличение  приводит к падению. Если  и  независимы, то график () представляет собой набор случайных точек.

        Функции случайных величин. Функция СВ также является СВ. Примеры:

1.  ;

2.  , где  - константа;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  .

Для независимых,

                        .

Выборочное среднее. В математической статистике важную роль играет СВ, называемая выборочным средним (средним по выборке) , где I - размер выборки из вероятностного распределения:

                         = , где - одно или среднее из .

Если (I,) =, то  - функция выборки со среднеквадратичным отклонением

                                         .

Если  независимы и одинаково распределены (НОР), то

                                            = .

Это значит, что выбрав I достаточно большим, можно уменьшить дисперсию среднего до любой малой величины.

        Законы больших чисел. Поведение  при увеличении размера выборки определяется двумя теоремами.

1. По  мере  роста    величина    стремится  к   с вероятностью, равной 1 - сильный закон больших чисел. С ним связан слабый закон больших чисел:

 = 0 для любого 0, , т.е. для любого положительного сколь угодно малого  вероятность того, что модуль разности  и  превысит , стремится к нулю при .

2. При определенных благоприятных условиях распределение суммы (не множества)  независимых наблюдений СВ  стремится к нормальному, когда , независимо от характера распределения самой СВ  - центральная предельная теорема.

8.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

1. 

Равномерный (рис.8.1):

 = ;  £ £ ;  =  = ;

Рис.8.3

Рис.8.2

Рис.8.1

 [] =  =  = .

2. Треугольный (рис.8.2):

            

			£ £ ;

 

=

         

 

£ £ ;

                                

    = ;   = .

 

3. Экспоненциальный (рис.8.3):

 =;   > 0;

 = .

Если вероятность того, что один и только один результат наступит на интервале  пропорциональна  и если наступление результата не зависит от наступления других результатов, то величины интервалов между результатами распределены экспоненциально. Данный тип процесса не оставляет последействия, что характеризует его  марковские свойства.