Статистические аспекты имитационного моделирования (Раздел 8 учебного пособия "Моделирование систем"), страница 2

4. Распределение Эрланга. Является результатом суммирования целого числа независимых и одинаково распределенных экспоненциальных СВ. Используется в теории массового обслуживания, когда исследуется выполнение работ в течение экспоненциально распределенных промежутков времени.

5. Распределение Пуассона.

Является дискретным и обычно связано с числом результатов за определенный период времени. Если продолжительность интервалов времени между результатами распределена экспоненциально и в каждый момент времени может произойти только один результат, то число результатов на фиксированном интервале времени распределено по закону Пуассона. При больших значениях  пуассоновское распределение аппроксимируется нормальным законом (рис.8.4):

;  ,1,2… ;   = ;

				Рис.8.5
						Рис.8.6

 

6. Нормальный (гауссовский) закон (рис.8.5):

                              = exp.

                             

 

7.  (хи-квадрат)-распределение (рис.8.6). Пусть ,…, - независимые СВ (например, стаж работы  любых сотрудников учреждения) и Î , где  означает нормальное распределение переменной  (величина стажа) признака  (стажа) в генеральной совокупности (все сотрудники учреждения); ,  - параметры распределения. Тогда распределение величины

                                         =

называется -распределением  с  

степенями свободы. Значение , свыше

которого площадь под кривой

распределения равна  (вероятность),

называется квантилем  (условный порог

значимости). С учетом  удобнее записывать квантиль

 как   или () (иногда вместо  употребляют выражение 1-).

8. Распределение Стьюдента (-распределение) - рис.8.7. Распределение Стьюдента в общем случае оценивает разность между средними значениями двух независимых нормально распределенных величин  и , где ,  - объемы выборок соответственно для  и :

                        .

Число степеней свободы в данном случае

=+-2. Квантиль = () - это значение ,

 за которым площадь под кривой распределения

 равна /2 (поэтому вместо  при символе

 часто  пишут /2 ).

Рис.8.7

Распределение СВ

=

также подчиняется -распределению. Здесь = (-1).

8.4. ГЕНЕРАЦИЯ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

Наиболее часто применимым на практике методом получения СВ являются генерация одной или нескольких СВ, равномерно распределенных на интервале [0,1] (базовая СВ или БСВ), и последующее преобразование БСВ в новую СВ, распределенную по нужному закону.

        Из всех методов получения СВ предпочтение отдается применению рекурсивных формул, по которым на основании -й СВ вычисляется (+1)-я СВ. Наилучшим образом требованиям СВ удовлетворяет конгруэнтный метод:

                                  = (+), =0,1,2,…,

                                  = /,

где , ,  - константы;  - ненормализованная СВ;  - нормализованная СВ в интервале [0,1]; (+) означает, что

= (+) - {},

где {} - целая часть;   = - корень. Числа   являются не точно случайными (псевдослучайными) и могут повторяться (имеют период числового ряда). Для данных конгруэнтных генераторов полный период  (- разрядность ЭВМ) соответствует =,  - простое к  число (наибольший общий делитель равен 1), =1+4 , где  - целое число.

        Для параллельных случайных потоков можно использовать один и тот же генератор с разными .

        Фундаментальным методом получения СВ с заданным законом распределения  является метод обратной функции:

                         = ,

где - БСВ, - функция от , вычисляемая из уравнения

                         = .

Если функцию  найти не удается, используют процедуры (программы) случайной выборки:

1)  равномерное распределение: 

 = ;

2)  треугольное распределение:

 = ; ,

                                  = ; <£ 1;

3)  экспоненциальное распределение:

 = ;

4)  распределение Пуассона: найти первое значение , когда

 ³ > ;

5) нормальное распределение (процедура RNORM(): а) -1   б) -1    в)    г) если >1, повторить а,….; если £1, то генерация парами: =;  =.