Приближение функции интерполяционным многочленом Ньютона, причем степень многочлена подобрать таким образом, чтобы max величина погрешности не превышала заданной величины

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Численные методы

Лабораторная работа № 6 «Приближение функций»

Вариант № 3

Задача: 6.22.1

Выполнила студентка группы А-14-02

Захарова Юлия

2004

Задание:

Дана функция . Приблизить функцию интерполяционным многочленом Ньютона, причем степень многочлена подобрать таким образом, чтобы max величина погрешности не превышала заданной величины

Теория:

Если функция задана таблично, причем с постоянным шагом h, то для ее интерполяции можно использовать интерполяционный многочлен Ньютона, имеющий вид

В нашем случае степень многочлена неизвестна, ее нужно подобрать, исходя из заданных условий, для чего предлагается следующий алгоритм:

Задать степени интерполяционного многочлена n некоторое значение.

Поскольку многочлен степени n определяется n+1 точкой, то вычислить сетку с шагом

Далее необходимо найти по отрезку [-1,1]. Но невозможно искать разность в каждой точке отрезка, значит, надо ограничиться разностью в узлах сетки. Но опять же, поскольку мы используем для интерполяции многочлен Ньютона, то в узлах сетки данная разность попросту равна 0. Как вариант, можно отойти от узла на  , высчитать там значение вышеприведенной разности и принять его за . Среди всех разностей найти максимум и, если он удовлетворяет заданным условиям, принять данное n за искомую степень. Если же нет, то увеличить n на 1 и повторить все действия.

Также надо отметить, что, сдвигаясь от последнего узла на некий шаг, мы выходим за пределы отрезка [-1,1] , тем самым переходя к решению задачи об экстраполировании, при этом погрешность резко возрастает. В данном случае целесообразно отказаться от рассмотрения погрешности в последней «сдвинутой» точке и ограничиться лишь предыдущими.

Ответ: степень интерполяционного многочлена, при котором максимальная разность не превышает 0.001 равна 11.