Вопросы к экзамену/зачету по курсу "Избранные разделы высшей математики"

Вопросы к экзамену/зачету
по курсу "Избранные разделы высшей математики" (1 из 1)

1. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Определение, свойства, вычисление, примеры приложения.

2. Криволинейный интеграл II рода (по проекциям). Определение, свойства, вычисление, примеры приложения.

3. Циркуляция, формула Грина. Условия независимости интеграла от пути интегрирования в плоском и пространственном случаях.

4. Параметрическое задание поверхности в R3. Поверхностные интегралы I и II рода (определение, свойства, вычисление), Площадь поверхности.

5. Теорема Остроградского-Гаусса.

6. Формула Стокса.

7. Равномерная и поточечная сходимость последовательности функций, критерий равномерной сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости функций. Элементарные свойства равномерно сходящихся последовательностей.

8. Равномерная сходимость функциональных рядов. Определение, критерий Коши равномерной сходимости ряда, необходимый признак равномерной сходимости. Мажорантный признак (признак Вейерштрасса), признаки Абеля и Дирихле. Условия непрерывности предельной функции последовательности и суммы сходящегося ряда. Теорема Дини.

9. Условия интегрируемости предельной функции сходящейся последовательности и суммы ряда.

10. Теоремы о дифференцируемости предельной функции сходящейся последовательности и суммы ряда.

11. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара относительно области сходимости степенного ряда. Равномерная и абсолютная сходимость ряда, интегрируемость и дифференцируемость степенных рядов.

12. Семейство функций, зависящих от параметра. Определение и критерий равномерной сходимости.

13. Собственный интеграл, зависящий от параметра, его непрерывность, интегрируемость, его дифференцирование по параметру (в том числе в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра).

14. Одномерные несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов, теоремы сравнения.

15. Кратные несобственные интегралы. Понятие исчерпания, независимость сходимости интеграла от вида исчерпания для вещественнозначных неотрицательных функций. Интеграл Эйлера-Пуассона, его вычисление.

16. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Определение равномерной сходимости интеграла по параметру на заданном множестве. Критерий Коши равномерной сходимости. Операции с несобственными интегралами, зависящими от параметра.

17. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости ряда Фурье. Коэффициенты Фурье в случае произвольного периода, для четных и нечетных функций.