Первичный анализ временного ряда и вторичный анализ стохастической составляющей исследуемого сигнала

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине «Анализ стохастических процессов»

Программа исследований

1)  первичный анализ временного ряда, включающий:

-   анализ выделяющихся наблюдений,

-  анализ стационарности временного ряда,

-  анализ наличия тренда и его выделение ( если тренд обнаружен),

-  анализ наличия колебательной составляющей временного ряда и ее параметров,

-  выделение фрагмента ряда в виде стационарной случайной компоненты.

2) вторичный анализ стохастической составляющей, включающий:

-  анализ основных статистических характеристик временного ряда,

-   анализ вида распределения отсчетов временного ряда,

-  непараметрический анализ корреляционных свойств временного ряда,

-  непараметрический анализ спектральных свойств временного ряда,

-  расчет линейной стационарной стохастической модели временного ряда, включающий оценивание порядка и параметров модели, включающий анализ типа модели, порядка модели и оценивание параметров модели,

-  расчет линейной нестационарной стохастической модели (АРПСС) временного ряда, если это возможно,

-  расчет  параметрических оценок корреляционной функции и спектральной плотности мощности,

-  сравнение результатов параметрического и непараметрического оценивания корреляционной функции и спектральной плотности мощности.

3)Результаты анализа по каждому пункту задания должны быть оформлены  в виде таблиц,  графиков и содержательных обоснованных выводов о свойствах сигнала, представленного заданным временным рядом.

Глава 1. Первичный анализ временных рядов.

Рассмотрим исходный временной ряд O_H_W.var0.

Рис. 1. Исходный временной ряд

Основное назначение предварительной обработки – повышение качества и достоверности исходной информации, приведение ее к виду, позволяющему обоснованно использовать те или иные алгоритмы последующей обработки.

Исследуемый сигнал может быть, как правило, представлен в виде суммы нескольких независимых компонент:

·  Стационарный случайный процесс

·  Детерминированная функция времени

·  Широкополосная случайная помеха

·  Импульсная составляющая.

В зависимости от физической сути исследовательской задачи, полезная информация может содержаться в любой из перечисленных компонент или их комбинации. Будем считать, что полезная информация содержится в первой компоненте – стационарном случайном процессе.

1.1  Анализ выделяющихся наблюдений

      Под аномальными понимаются наблюдения, достоверность которых сомнительна. Предполагается, что при съеме данных допускаются грубые ошибки в измерениях, вызванные сбоями и помехами. Перед началом анализа следует удалить аномальные точки. Визуальный анализ временного ряда показал, что выделяющиеся наблюдения отсутствуют.

1.2  Анализ стационарности временного ряда

     Исследуем стационарность рядов, возможно включающих тренд, используя:

·  анализ ряда оценок математического ожидания и дисперсии, рассчи­танных в 10 последовательных блоках по 300 точек и критерии проверки случайности,

·  анализ оценки автокорреляционной функции (АКФ) и спектральной плотности мощности (СПМ).

Анализ ряда оценок математического ожидания и дисперсии:

                                  Основные Статистики

                  stac1.z1        stac1.z2        stac1.z3        stac1.z4       

Среднее значение  0.05011111111   0.04716612378   -0.06651612903  0.1306875      

Дисперсия         0.03052409223   0.01644837305   0.04234003039   0.0282706077   

                  stac1.z5        stac1.z6        stac1.z7        stac1.z8       

Среднее значение  -0.1199396825   0.1132032258    -0.004804560261 0.008319218241 

Дисперсия         0.06126863446   0.0192162587    0.01874175333   0.01181424989  

                  stac1.z9        stac1.z10      

Среднее значение  -0.1110488599   -0.04055892256 

Дисперсия         0.04675687383   0.01900898727

Рис.2 Значения математических ожиданий для всех интервалов

Рис.3 Значения дисперсий для всех интервалов

Для проверки стационарности существует много различных  процедур. Рассмотрим несколько статистик, где нулевая гипотеза состоит в том, что наблюдаемые значения представляют собой последовательность независимых случайных величин, а альтернативная гипотеза трактуется как отличие от последовательности случайных величин по причине наличия систематических компонент. В данной работе рассмотрим несколько критериев: медианный тест, тест «восходящих» и «нисходящих» серий, тест поворотных точек.

Гипотезу случайности следует отвергать, если Р-значение критерия меньше, чем заданный исследователем уровень значимости.

Тесты на Случайность

                      Медианный Тест

  Переменная       Кол-во Серий     P-Значение      Длина Серий      P-Значение

stac1.mo           7               0.3173105079    2               0.998046875    

stac1.disp         5               0.7388826804    3               0.826171875    

                      Поворотных Точек Тест

  Переменная       Поворотных Точек Сред.Значение   Стан.Отклон.

stac1.mo           7               5.333333333     1.455555556    

stac1.disp         6               5.333333333     1.455555556    

Поворотных Точек Тест

                      Up & Down  Тест

  Переменная       Кол-во Серий     P-Значение      Длина Серий      P-Значение

stac1.mo           8               0.4071788522    3               0.791015625    

stac1.disp         7               1               3               0.791015625    

По результатам медианного теста и теста Up-Down нулевая гипотеза о случайности рядов математических ожиданий и дисперсий принимается, то есть ряды stac1.mo и stac1.disp являются случайными. Следовательно, исходный ряд var0 является стационарным.

По результатам теста поворотных точек ряд var0 является нестационарным по математическому ожиданию, но стационарным по дисперсии.

     Анализ оценки автокорреляционной функции (АКФ) и спектральной плотности мощности (СПМ):

Рис.4 Оценка автокорреляционной функции

Рис.5 Оценка спектральной плотности мощности

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о присутствии низкочастотной составляющей, которая является источником нестационарности по математическому ожиданию.

Следовательно, ряд является нестационарным. Попробуем обнаружить и удалить тренд.

1.3  Анализ наличия тренда и его выделение

Сначала проведем анализ случайности  данного ряда с помощью критериев:

                                   Тесты на Случайность

                      Медианный Тест

  Переменная       Кол-во Серий     P-Значение      Длина Серий      P-Значение

o_h_w.var0         100             0               164             0              

                      Поворотных Точек Тест

  Переменная       Поворотных Точек Сред.Значение   Стан.Отклон.

o_h_w.var0         587             1998.666667     533.0111111    

Поворотных Точек Тест