Математика \ Теория нечетких множеств

Предмет и задачи курса "Теория нечетких множеств". Общее применение нечетких моделей. Теория четких множеств. Теория нечетких множеств, страница 6

Рассмотрим 3 нечетких понятия – "начало/середина/конец недели". В принятых вербальных оценках содержится субъективное восприятие понятия "дата" относительно начала, середины или конца недели.

Переведем в функцию принадлежности:

Базовая переменная	Начало	Середина	Конец
Пн	1,0	0	0	1,0
Вт	0,6	0,2	0	0,8
Ср	0	1,0	0	1,0
Чт	0	0,6	0,3	0,9
Пт	0	0	0,7	0,8
Сб	0	0	0,9	0,9
Вс	0	0	1,0	1,0

Тогда имеем следующие функции принадлежности:

Начало недели:

Середина недели:

Конец недели:

1) Сумма этих принадлежностей должна быть близка к 1 (в этом отличие от теории вероятностей).

2) Крайние значения (Пн: 1 – начало, 0 – конец; Вс: 1 – конец, 0 – начало) характеризуют Булеву алгебру как частный случай.

Таким образом, построение функции принадлежности опирается на вербальные оценки, "за кулисами" которых стоят численные оценки.

Рассмотрим лингвистическую переменную "интеллект". В этом случае человечеством предпринимаются попытки наряду с вербальными нечеткими переменными дать их численную оценку. Можно ввести следующие термы понятия "интеллект": сверходаренные (гении), одаренные, очень способные, способные, нормальные, малоспособные, дебилы, имбецилы (кретины), идиоты.

Данное терм-множество представляет собой набор нечетких понятий, входящих в лингвистическую переменную "интеллект". Их соответствие базовой переменной может быть сделано на основе коэффициента IQ (Intelligence Quotient):

Сверходаренные >160 пунктов

Одаренные 160 – 145

Очень способные 145 – 130

Способные 130 – 115

Нормальные 100 – 85

Малоспособные 85 – 70

Дебилы 70 – 55

Имбецилы 55 – 40

Идиоты 40 – 25

Таким образом, в данном случае эту модель можно развить путем построения функции принадлежности относительно какого-либо субъекта.

Опираясь на статистический закон распределения, можно предположить, что принадлежность некоторого субъекта к нечеткому понятию "нормальный" составляет ≈0,7. Также можно предположить, что в данной аудитории остальные значения принадлежности будут относиться к нечетким понятиям "способный", "очень способный", "одаренный".

Рассмотрим также функцию принадлежности для лингвистической переменной "езда на автомобиле". Выше было выбрано терм-множество для этой цели.

стоп

очень медленно

медленно

нормально

быстро

очень быстро

сверхбыстро

Из этого терм-множества следует, что любая скорость может быть отнесена к разным нечетким переменным:

80 км/ч принадлежит с принадлежностью 0,8 к нормальной езде и с принадлежностью 0,4 к быстрой езде.

Таким образом, с помощью функции принадлежности и, главным образом, некоторого терм-множества – набора функций принадлежности – можно оценить пересечение различных классов множеств, и на этой основе оценить состояние элемента, а именно: на сколько он принадлежит тому или иному классу множеств.

В этом состоит главный постулат теории нечетких множеств: элемент может принадлежать разным множествам одновременно с различной степенью принадлежности.

3.3. Типичные (характерные) функции принадлежности

В инженерной практике и научных исследованиях установились некоторые традиции отображения реальных процессов с помощью функции принадлежности. При этом различают как бы дуальные функции принадлежности либо как гладкие функции, либо как набор линейных функций:

1) Монотонно возрастающие функции

2) Монотонно убывающие функции

3) Функции принадлежности как треугольное распределение (характеризует: около, приблизительно, почти)

Таким образом, максимальное значение функции принадлежности соответствует m. Восходящая ветвь описывается – коэффициент восхождения, нисходящая ветвь описывается – коэффициент нисхождения.

4) Нечеткий интервал

Характеризуется нечеткими границами интервала (a; b)

Углы наклона трапеции определяются теми же выражениями, что и для треугольной функции.

Другой способ состоит в представлении границ как гауссовских кривых:

Например, качество электрической энергии. Функция принадлежности отклонения напряжения может быть представлена нечетким интервалом.

Допустимые интервалы (вероятность 0,95): ± 5%

Допустимые интервалы (вероятность 0,05): ± 10%

3.4. Алгебра нечетких множеств

Алгебра нечетких множеств (АНМ) отличается от алгебры четких множеств и алгебры событий в теории вероятностей. Реально АНМ предполагает операции с функциями принадлежностей. Однако сами операции записываются как операции с нечеткими множествами.

Различают следующие действия:

1) Эквивалентность