Теория поля: Методические указания к выполнению семестрового задания (с вариантами заданий), страница 4

Пример.

1) Показать, что поле вектора  потенциально и найти его потенциал.

Решение.

Поле вектора  будет потенциальным, если =0.

Найдем .

Так как =0, то поле вектора  потенциально. Найдем потенциал. В качестве точки  возьмем (0;0;0).

.

Можно проверить, что функция U действительно является потенциалом векторного поля вектора . Если U потенциал, то .

Найдем .

Ответ: .

2) Проверить, будет ли поле вектора

 потенциальным и найти его потенциал.

Решение.

Если плоское поле вектора  потенциально, то .

,

.

Так как , то поле потенциально. Найдем потенциал.

.

В качестве точки  возьмем точку (1;1). Точку (0;0) брать нельзя, так как в этой точке поле вектора  не задано, функции Р и Q не существуют в (0;0).

Проверка: , .

,

.

Ответ: .

13 Циркуляция векторного поля

Определение:Циркуляцией вектора  вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора  на вектор  касательной к контуру:

,

если  и , то

                                           (6)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой L считают направление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет оставаться слева.

В силовом поле формула (6) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L.

Пример.

1) Найти циркуляцию векторного поля  вдоль линии эллипса

Решение.

По определению циркуляции имеем:

.

Так как  - параметрическое уравнение эллипса, то

, при этом .

2) Найти циркуляцию векторного поля

 вдоль линии пересечения плоскости  с координатными плоскостями.

Рисунок 15

Линиями пересечения плоскости  с координатными плоскостями будут стороны треугольника АВС, т.е.

; ; .

14 Формула Стокса

Пусть координаты вектора  непрерывны и имеют непрерывные частные производные, тогда циркуляцию вектора  по замкнутому контуру L удобно вычислить по формуле Стокса.

Теорема:Циркуляция вектора  по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L.

.

Предполагается, что ориентация нормали  к поверхности S согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки.

Так как

, а , то

Так как

.

Из теоремы следует формула Стокса:

,

где  - проекции поверхности S на плоскости YOZ, XOZ, XOY.

Из формулы Стокса следует, что если поле вектора  потенциально, то тогда =0 и циркуляция вектора  потенциального поля равна нулю

Частным случаем формулы Стокса, когда поле вектора  плоское, будет формула Грина.

Если поле вектора  плоское, то

,

,

так как =0 и =0.

Тогда в формуле Стокса =0 и =0 и

.

Примеры.

1) Решим второй пример из рассмотренных ранее вторым способом по формуле Стокса.

Найти циркуляцию векторного поля

 вдоль линии пересечения плоскости  с координатными плоскостями.

Решение.

Найдем :

Тогда =2, =-3, =-1.

Найдем циркуляцию по формуле Стокса:

2) Вычислить циркуляцию вектора  по контуру L, образованному линиями y=x, .

Решение.

Так как поле вектора  плоское, то найдем циркуляцию по формуле Грина:

.

Рисунок 17

15 Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции второго порядка

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчетов форме с помощью символического оператора Гамильтона «набла».

.

В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства. Формальное умножение  на функцию U(x;y;z) понимают как частное дифференцирование .

Правила действия с оператором «набла» таковы:

1) Произведение набла – вектора  на скалярную функцию U(x;y;z) дает градиент этой функции:

.

2) Скалярное произведение набла - вектора  на векторную функцию  дает дивергенцию этой функции:

3) Векторное произведение набла – вектора  на векторную функцию  дает ротор этой функции:

Рассмотрим теперь векторные дифференциальные операции второго порядка.

Пусть задано скалярное поле U(x;y;z) и нашли градиент этого поля . Поле градиента является векторным полем и можно найти его дивергенцию и ротор, т.е.  и .

                             а) .                         (*)

Действительно, , образуя дивергенцию этого вектора, мы и получим данную формулу (*). Правая часть формулы (*) называется оператором Лапласа от функции и обозначается :

.

Выражение  можно с помощью набла – вектора записать так:

.

б) Пусть функция U(x;y;z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, тогда =0.

Это равенство проверяется просто, так как все координаты  представляют собой разность вторых смешанных производных функции U, отличающихся лишь порядком дифференцирования, которые равны, например:

.

Это соотношение легко запоминается, если записать его с помощью набла – вектора:

,

так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

в) .

Образуя дивергенцию от , получим:

Так как вторые смешанные производные равны, если функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

С помощью набла – вектора это запишется так:

.

То есть мы имеем смешанное произведение трех «векторов», из которых два вектора одинаковы. Такое произведение равно нулю.

16 Семестровое задание по теме «Теория поля»

Решение задач.

Задача 1.

а) Найти угол между градиентами функции  в точках (1;-1;0) и (2;1;1).

Решение.

.

Найдем градиент функции U в точках (1;-1;0) и (2;1;1):

,

.

Тогда косинус угла  между градиентами, т.е. между векторами  и  найдем по формуле:

,