Теория поля: Методические указания к выполнению семестрового задания (с вариантами заданий), страница 2

, т.е .

Решая , получим , , или . Если ввести параметр t, то получим параметрические уравнения окружности:

.

Тогда уравнение  примет вид:

 или ,

тогда

.

Следовательно, параметрические уравнения векторных линий будут такими:

.

Если векторная линия проходит через точки (1;0;0), то

.

Тогда =1, =0 и через точку (1;0;0) проходит векторная линия с уравнением:

.

Это уравнение винтовой линии.

2) Найти векторные линии плоского поля .

Решение.

Уравнение векторных линий такое:

.

Проинтегрировав, получим

, .

Это семейство ветвей параболы:

Рисунок 5                                                       Рисунок 6

6 Поток векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором

.

Возьмем в этом поле некоторую поверхность S, которая предполагается двусторонней, и выберем на ней определенную сторону. Пусть  - единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной точке поверхности.

Потоком вектора  через поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности S от скалярного произведения вектора  на единичный вектор нормали к поверхности .

.

Вычислить поток вектора – это вычислить поверхностный интеграл 1-го рода.

Свойства потока

1) Поток вектора величина скалярная.

2) Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности (т.е. с изменением ориентации нормали  к поверхности S):

,

где  - сторона поверхности S, на которой выбрана нормаль ,  - сторона поверхности S, на которой нормаль .

3) Свойство линейности:

,

где  и  - числа.

4) Свойство аддитивности: если поверхность S состоит из нескольких гладких частей , , ... , то поток векторного поля вектора  через S равен сумме потоков вектора  через поверхности , , ... :

.

Пусть поверхность S замкнутая и ограничивает некоторую область . Возьмем внешнюю нормаль и рассмотрим поток изнутри поверхности S.

Когда векторное поле  представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области , и количеством жидкости, втекающей в эту область. Если К=0, то в область  втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Так будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Если К>0, то вытекает жидкости больше, чем втекает, т.е. в области  имеются источники, питающие поток жидкости.

Если К<0, то вытекает жидкости меньше, чем втекает, тогда в области есть стоки, где жидкость удаляется из потока.

7 Способы вычисления потока

7.1 Метод проектирования на все три координатные плоскости

Пусть поверхность S взаимно – однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Пусть , ,  проекции поверхности S соответственно на плоскости XOY, XOZ и YOZ.

Пусть уравнение поверхности S:  = 0 однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов x, y, z.

x=x(y,z),      y=y(x,z),      z=z(x,y).

Тогда поток вектора  через поверхность S с единичным вектором нормали , где , ,  - направляющие косинусы нормали, будет вычисляться так:

т.к. , то

Знак «+» или «-» выбирается так, чтобы он совпадал у первого слагаемого со знаком , у второго слагаемого со знаком , у третьего со знаком  на поверхности S.

При этом орт  нормали к выбранной стороне поверхности находится по формуле:

,

где F(x;y;z)=0 – уравнение поверхности S.

Знак выбирается согласно с выбором нормали к поверхности S.

Пример.

Найти поток вектора  через треугольник, вырезанный из плоскости Р координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью ОХ острый угол. Уравнение плоскости Р: x-y+2z+5=0.

Решение.

Найдем орт  нормали к поверхности:

.

так как F(x;y;z)=x-y+2z+5=0, то

=1,                     =-1,         =2.

Выбрали знак «+», так как по условию задачи сказано, что угол  острый, т.е. >0.

Найдем теперь поток по формуле:

,

где второй член с «-», так как <0.

Т.е.

,

.

 Рисунок 7                         Рисунок 8                    Рисунок 9

На рисунках 7,8,9 показаны проекции поверхности S на ZOY (рис.1), XOZ (рис.2) и XOY (рис.3).

7.2 Вычисление потока проектированием на одну из координатных плоскостей

Вычислим поток проектированием на плоскость XOY.

Если незамкнутая поверхность S имеет уравнение F(x;y;z)=0 и взаимно однозначно проектируется на плоскость XOY в область . Уравнение F(x;y;z)=0 однозначно разрешимо относительно z, т.е. .

Так как элемент площади dS этой поверхности равен

, то .

Орт нормали  к выбранной стороне поверхности находим по формуле:

,

тогда  равен коэффициенту при , т.е.

                                                               (3)

Если угол  между осью oz и нормалью  острый, то в формуле (3) берем знак «+», если же угол тупой, то берется «-».

Решим ранее рассматриваемую задачу проектированием на плоскость XOY.

Задача.

Найти поток вектора  через треугольник, вырезанный из плоскости Р координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью ОХ острый угол. Уравнение плоскости Р: x-y+2z+5=0.

Решение.

(4)

Так как по условию задачи сказано, что орт нормали к плоскости Р образует острый угол с осью ox, т.е. , то в формуле (4) выберем знак «+». Тогда .

Найдем :

,

Тогда

Если оказывается удобным проектировать поверхность S на координатные плоскости YOZ или XOZ, то для вычисления потока пользуются соответственно формулами:

         Рисунок 10

                                                                     (5)

                                                                     (6)

Рассмотрим решение еще одной задачи о нахождении потока через незамкнутую поверхность S проектированием на одну из координатных плоскостей.

Задача.