, т.е .
Решая , получим , , или . Если ввести параметр t, то получим параметрические уравнения окружности:
.
Тогда уравнение примет вид:
или ,
тогда
.
Следовательно, параметрические уравнения векторных линий будут такими:
.
Если векторная линия проходит через точки (1;0;0), то
.
Тогда =1, =0 и через точку (1;0;0) проходит векторная линия с уравнением:
.
Это уравнение винтовой линии.
2) Найти векторные линии плоского поля .
Решение.
Уравнение векторных линий такое:
.
Проинтегрировав, получим
, .
Это семейство ветвей параболы:
Рисунок 5 Рисунок 6
6 Поток векторного поля
Пусть векторное поле образовано вектором
.
Возьмем в этом поле некоторую поверхность S, которая предполагается двусторонней, и выберем на ней определенную сторону. Пусть - единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной точке поверхности.
Потоком вектора через поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности S от скалярного произведения вектора на единичный вектор нормали к поверхности .
.
Вычислить поток вектора – это вычислить поверхностный интеграл 1-го рода.
Свойства потока
1) Поток вектора величина скалярная.
2) Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности (т.е. с изменением ориентации нормали к поверхности S):
,
где - сторона поверхности S, на которой выбрана нормаль , - сторона поверхности S, на которой нормаль .
3) Свойство линейности:
,
где и - числа.
4) Свойство аддитивности: если поверхность S состоит из нескольких гладких частей , , ... , то поток векторного поля вектора через S равен сумме потоков вектора через поверхности , , ... :
.
Пусть поверхность S замкнутая и ограничивает некоторую область . Возьмем внешнюю нормаль и рассмотрим поток изнутри поверхности S.
Когда векторное поле представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области , и количеством жидкости, втекающей в эту область. Если К=0, то в область втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Так будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.
Если К>0, то вытекает жидкости больше, чем втекает, т.е. в области имеются источники, питающие поток жидкости.
Если К<0, то вытекает жидкости меньше, чем втекает, тогда в области есть стоки, где жидкость удаляется из потока.
7 Способы вычисления потока
7.1 Метод проектирования на все три координатные плоскости
Пусть поверхность S взаимно – однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Пусть , , проекции поверхности S соответственно на плоскости XOY, XOZ и YOZ.
Пусть уравнение поверхности S: = 0 однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов x, y, z.
x=x(y,z), y=y(x,z), z=z(x,y).
Тогда поток вектора через поверхность S с единичным вектором нормали , где , , - направляющие косинусы нормали, будет вычисляться так:
т.к. , то
Знак «+» или «-» выбирается так, чтобы он совпадал у первого слагаемого со знаком , у второго слагаемого со знаком , у третьего со знаком на поверхности S.
При этом орт нормали к выбранной стороне поверхности находится по формуле:
,
где F(x;y;z)=0 – уравнение поверхности S.
Знак выбирается согласно с выбором нормали к поверхности S.
Пример.
Найти поток вектора через треугольник, вырезанный из плоскости Р координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью ОХ острый угол. Уравнение плоскости Р: x-y+2z+5=0.
Решение.
Найдем орт нормали к поверхности:
.
так как F(x;y;z)=x-y+2z+5=0, то
=1, =-1, =2.
Выбрали знак «+», так как по условию задачи сказано, что угол острый, т.е. >0.
Найдем теперь поток по формуле:
,
где второй член с «-», так как <0.
Т.е.
,
.
Рисунок 7 Рисунок 8 Рисунок 9
На рисунках 7,8,9 показаны проекции поверхности S на ZOY (рис.1), XOZ (рис.2) и XOY (рис.3).
7.2 Вычисление потока проектированием на одну из координатных плоскостей
Вычислим поток проектированием на плоскость XOY.
Если незамкнутая поверхность S имеет уравнение F(x;y;z)=0 и взаимно однозначно проектируется на плоскость XOY в область . Уравнение F(x;y;z)=0 однозначно разрешимо относительно z, т.е. .
Так как элемент площади dS этой поверхности равен
, то .
Орт нормали к выбранной стороне поверхности находим по формуле:
,
тогда равен коэффициенту при , т.е.
(3)
Если угол между осью oz и нормалью острый, то в формуле (3) берем знак «+», если же угол тупой, то берется «-».
Решим ранее рассматриваемую задачу проектированием на плоскость XOY.
Задача.
Найти поток вектора через треугольник, вырезанный из плоскости Р координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью ОХ острый угол. Уравнение плоскости Р: x-y+2z+5=0.
Решение.
(4)
Так как по условию задачи сказано, что орт нормали к плоскости Р образует острый угол с осью ox, т.е. , то в формуле (4) выберем знак «+». Тогда .
Найдем :
,
Тогда
Если оказывается удобным проектировать поверхность S на координатные плоскости YOZ или XOZ, то для вычисления потока пользуются соответственно формулами:
Рисунок 10
(5)
(6)
Рассмотрим решение еще одной задачи о нахождении потока через незамкнутую поверхность S проектированием на одну из координатных плоскостей.
Задача.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.