Нахождение скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. Нахождение нормированного вектора евклидова пространства

1.1 В евклидовом пространстве  найдите

      1) скалярное произведение векторов a, b;

      2) угол между векторами a и b;

где  =(1,1,1,1),  =(3,5,1,1).

1.2 Найдите нормированный вектор евклидова пространства , ортогональный векторам  =(1,1,1), =(1,-1,1).

1.3 Применяя  процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису =(1,1,1), =(1,2,3), =(1,1,2) евклидова пространства   постройте ортонормированный базис. Сделайте проверку.

1.4 Дополните до ортонормированного базиса евклидова пространства  систему векторов  =(1,-2,2,-3), =(2,-3,2,4).

2.1 В ортонормированном базисе евклидова пространства  линейный оператор задан матрицей            .

 Будет ли этот оператор ортогональным?

2.2 Для данной матрицы         найдите такую ортогональную матрицу Т, что ТСТ^-1  —диагональная матрица. Сделайте проверку.

2.3 Найдите собственные значения и ортонормированный базис ,   из собственных векторов самосопряжённого линейного оператора , заданного в некотором ортонормированном базисе ,  матрицей   . Найдите  матрицу оператора  в базисе   , .

2.4 Методом Лагранжа приведите квадратичные  формы , и   к каноническому виду. Укажите невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее к этому виду. Сделайте проверку.