Вступ до аналізу (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики)

Теоретичний матеріал  та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики      

Для студентів заочної форми навчання за фахом

7.090202 „Технологія машинобудування”

           7.090216”Гірниче обладнання”

           7.090218 „Металургійне обладнання

1.  Вступ до аналізу

Математичний аналіз вивчає змінні величини – функцію, теорію границь, диференціальне та інтегральне числення.

a.  Загальні поняття та означення

Означення 1. Множина – це сукупність деяких об’єктів (елементів множини), виділених за певною ознакою з інших об’єктів.

Факт належності елемента а множини А позначається:

а  А

Основні числові множини:

N - натуральні числа,

Z - цілі числа,

 Q - раціональні числа,

 R - дійсні числа,

 С - комплексні  числа.

Має місто співвідношення:

N cZcQcRcC

Наприклад.Множина раціональних чисел Q утворена всіма дробами вигляду m/n, де m Z, nN.

Тобто, довільне раціональне число зображається скінченним або нескінченним періодичним десятковим дробом.

Означення 2. Числа, які зображаються нескінченним неперіодичним десятковим дробом, називають ірраціональними.

Наприклад. π ≈ 3,1415926536, e ≈ 2,71828181

                            ≈ 1,414213562343

Довільне ірраціональне число можна з довільною точністю наблизити раціональним числом.

Наприклад.      З точністю до ∆ = 0,01:

     π ≈ 3,14;  e ≈ 2,72;   ≈ 1,41.

Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел R.

Відрізняють такі підмножини дійсних чисел:

інтервал ( відкритий проміжок) – (а, в) або а < х < в;

відрізок - [а, в] або а ≤ х ≤ в;

напівінтервал - [а, в) або (а, в];

нескінченні інтервали – (-∞, в) або (а, ∞), (-∞,∞) = R вся множина дійсних чисел.

Означення 3. Модулем або абсолютною величиною дійсного числа х називається вираз:

│х│= х, якщо х ≥ 0, та   │х│= - х, якщо х < 0.

Властивості модуля числа:

1.  │х│≥ 0;

2.  х  ≤ │х│;

3.  │х + у│≤  │х│+ │у│;

4.  │х × у│≤  │х│× │у│, де х, у – є R;

5.  │х│< а рівносильно -а  < х < а, х є (-а, а);

6.  │х - а│< б <=> а – б < х < а + б, х є (а – б, а + б).

Означення 4. Інтервал (а – б, а + б) називається б-колом        точки а.

Множина комплексних чисел С утворена приєднанням до множини дійсних чисел R числа і, для якого і² = -1, а також всіх чисел вигляду а + в × і, де   а, в є R.

Означення 5. Комплексними називаються числа вигляду           Z = a + i×в, де  і =, а і в – дійсні числа, які позначаються            а = R_eZ, в = I_mZ і називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа Z є С.

        Окрім стандартної форми запису комплексного числа                 Z = a + ві, використовується тригонометрична форма запису:

Z = r × (cosφ + іsinφ),

де: r = │ Z │= √а² + в², φ = argZ = arctgb/a.

Ясно, що кут φ = argZ – визначений однозначно, якщо накласти додаткову умову о ≤ φ ≤ 2 π.

1.2 Функція та її властивості. Класифікація функцій

Величину, яка може приймати різні числові значення, називають змінною.

Означення 1. Якщо кожному значенню змінної х є D за деяким законом ƒ (по деякому правилу ƒ) ставиться у відповідність одне і тільки одне значення другої змінної у є Е, тоді  у = ƒ_(х) є функція з областю визначення D_(х) і множиною значень Е_(у).

При  цьому вживаються терміни:

         х– незалежна змінна (аргумент),

         у– залежна змінна (функція).

Функцію можна задати аналітично (формулою), графічно, таблицею, програмою для ЕОМ.

Означення 2. Графіком функції  у = ƒ_(х)  називають геометричне місце точок М_{(х, ƒ(х))}  площини ОХУ, абсциси яких належать D_(х), а ординати – Е_(у).

Як правило, графік функції – це лінія (крива) площини ОХУ.

Означення 3. Функція у = ƒ_(х)  визначена в інтервалі, симетричному відносно нуля, називається:

а) парною, якщо ƒ_(-х) = ƒ_(х) ,

         б) непарною, якщо  ƒ_(-х) = -ƒ_(х).

Зрозуміло, що графік парної функції симетричний відносно осі ординат ОУ, а графік непарної – відносно початку координат (0,0).

Приклад 1. Побудувати графік функції

у = х² - 2│х│

Розв’язання:

1). За означенням:│х│= х, якщо х ≥ 0, та   │х│= - х, якщо       х < 0.               

Таким чином, у  = х² – 2х, х ≥ 0,

                         у = х² + 2х, х < 0.

 

Рисунок 1

Дійсно, функція у  = х² – 2│х│- парна, тобто вона має бути симетрична відносно осі ординат ОУ (див.рис. 1)

Означення 4. Якщо правило ƒ – взаємно однозначна відповідність між множинами D_(х) і Е_(у), тоді існує єдина функція         ƒ^-1 ≡ d, яка задовольняє умові:

ƒ_(d(у)) = у, d_(ƒ(х)) = х

для всіх х є D_(у)  ≡ Е_(х), у є Е_(у)  ≡ D_(х).

 

Ця функція х = ƒ^-1_(у)  називається оберненою для функції  ƒ_(х).

 

Приклад 2. Знайти функцію, обернену до даної функції:

х = а^зу – 2

Розв’язання:

Маємо а^зу = х + 2. Логарифмуючи обидві частини рівності, одержимо:

3уlog_аа = log_а(x + 2)

Враховуючи, що log_aa = 1, маємо:

у = ⅓log_a(х + 2)

Означення 5. Функція , яка визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує таке число а ¹ 0, що для всіх х виконується умова:  .

Найменше додатнє число а, яке задовольняє такій умові, називають періодом функції і позначають Т. Розглянемо класифікацію функцій.

Означення 6. Основними єлементарними функціями є:

1)  степенева - ,  

2)  показникова - , а > 0, а ¹ 1.

3)  Логарифмічна - , а > 0, а ¹ 1.

4)  Тригонометричні -

5)  Обернені тригонометричні -.

Означення 7. Якщо , а , то функція  називається складеною або суперпозицією (композицією) функцій  і .

Означення 8. Елементарними функціями називають або основні елементарні, або ті, які утворено з них за допомогою скінченного числа арифметичних дій чи скінченного числа суперпозицій функцій.

В математиці широко використовують алгебраїчні елементарні функції

а) многочлен (поліном), або ціла раціональна функція

,

де  - степень многочлена, а₀, а₁, ..., а_n – дійсні коефіціенти (сталі числа)

б) дробово – раціональна функція (відношення двох многочленів):

Прикладом дробово-раціональної функції є дробово-лінійна:

,

а також  (гіпербола), де .

Зауваження.

1.  Рівнянням  неявно подається функція у(х), або х(у), наприклад: х² + у² = 0.

 

2.  Рівняннями                   параметрично подається функція у(х),

 

або х(у), наприклад

3). Графік функції у = Аf[k(x-a)]+B можна побудувати за допомогою деформації  і паралельного зсуву графіка  у = f_(x).

Це можна зробити в такій послідовності:

а) у = f_(x);

б) у = f_(x-а) зміщення по осі ОХ графіка у = f_(x) на величину а;

в) у = f[k(x-a)] – розтяг  уздовж осі ОХ в  разів графіка               у = ƒ_{(х - а)};

г) у = Аf[k(x-a)] – розтяг уздовж осі ОУ в А разів графіка                    у = f[k(x-a)];

д) у = Аf[k(x-a)] + В зміщення по осі ОУ графіка на величину В.