Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Исторические замечания о перестановке двух предельных операций

309. Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по пред­ложению Лежандра) интеграл вида

где а, b>0. Он представляет функцию от двух переменных пара­метров а и b: функцию В («Бета»).

Рассматриваемый интеграл, как мы знаем [n° 290, 3)], для поло­жительных значений а и b(хотя бы и меньших единицы) сходится *)• и, следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.

1°. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой х=1 — t) получаем:

В (а, b) = B(b, а),

так что функция В является симметричной относительно а я b.. 2°. С помощью интегрирования   по частям   из формулы (1),   при b>1, находим**):

Эту формулу можно применять с целью уменьшения b, пока bостается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал <= 1.

*) Наоборот, если значение хоть одного из параметров a, bбудет <= О, го интеграл расходится.

**) Мы используем при этом тождество

Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргу­мента, так как — ввиду симметричности В — имеет место и другая формула приведения:

Если  bравно натуральному числу п,   то,  последовательно при­меняя формулу (2), найдем:

Поэтому для В (а, п)  и — одновременно — для  В (n, а)  получается окончательное выражение

Если и а равно натуральному числу т, то

Эту формулу можно применять   и  при т=1 или п=1,   если под символом 0! разуметь 1.

3°. Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Именно, если в интеграле (1) про­извести подстановку х= y/(1+y) , где у — новая переменная, изме­няющаяся от 0 до сю, то и получим

Полагая здесь b=1—а (в предположении, что 0<а<1), найдем

Читатель узнает уже вычисленный выше интеграл, также связывае­мый с именем Эйлера [n° 308, 1°]. Подставляя его значение, при­ходим к формуле

Если, в частности, взять

Мы ограничимся этими немногими свойствами функции «Бета» потому, что — как увидим ниже [т° 311, 4°] — она очень просто выра­жается через другую функцию — «Гамма», на которой мы остано­вимся подробнее.

310. Эйлеров интеграл второго рода. Это название было при­своено Лежандром замечательному интегралу:

который сходится при любом а > О [n° 290, 4)] *) и определяет функцию Г («Гамма»). Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Изу­чение свойств функции Г, исходя из ее интегрального определе­ния (6), послужит одновременно и прекрасным примером примене-ния изложенной выше теории интегралов, зависящих от параметра.

Если  положить   в  (6)

Как известно [n° 65, 2)],

причем выражение n(1—zⁿ) при возрастании п стремится к сво­ему пределу возрастая **). В таком случае, на основании n° 304 (следствие) и 307

*) При a<=0 интеграл расходится. **) В этом   можно убедиться методами дифференциального  исчисления,

1— z^а

рассматривая выражение ---------- как функцию от а.

или — если прибегнуть к подстановке z=y":

Таким образом, окончательно,   приходим к знаменитой формуле Эйлера — Гаусса:

Эту формулу Эйлер еще в 1729 г. сообщил в письме к Гольдбаху, но она была забыта. Гаусс впоследствии именно ее положил в основу самого определения функции П(а) = Г(а+1). Много занимались функцией Г Ле-жандр и Лобачевский, причем Лобачевский исходил из своеобразного опре­деления функции Г, использующего бесконечные ряды.

. Простейшие свойства функции Г. 1. Функция Г(а), при •всех значениях а > 0, непрерывна и имеет непрерывные же про­изводные всех порядков. Достаточно доказать лишь существо­вание производных. Дифференцируя интеграл (6) под знаком интеграла, получим

Применение   правила   Лейбница   оправдано тем,   что   оба интеграла

сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а>=а₀>0 (мажоранта x^ao~^lInx), а второй при х = оо для a<= А<оо (мажоранта Х^А е~^х'*)).

Таким же   путем   можно убедиться   и   в   существовании второй лроизводной

и всех дальнейших.

*) Для x>0, очевидно, lпх<х.

2°. Из (6), интегрированием по частям, сразу получаем:

Эта формула, повторно примененная, дает

Г(а + n) = (а+n - 1)-(a + n — 2)- ... . (a + 1) • а Г (а). (8*) Таким путем вычисление Г для произвольного значения аргумента а может быть приведено к вычислению Г для 0<a<=l (или, если угодно, для 1 < a <=2).

Если в (8*) взять а = 1 и принять во внимание, что

Функция Г является, таким образом, естественным распростра­нением на область любых положительных значений аргумента — функции п!, определенной лишь для натуральных значений п.

3°. Ход изменения функции Г. Теперь мы можем соста­вить себе общее представление о поведении функции Г (а) при возрастании а от 0 до оо.

Из (9) и (10) имеем: Г(1) —Г(2)= 1, так что, по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень a₀ производной Г (а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г" (а), как видно из ее выражения (7*), всегда положительна. Сле­довательно, при 0<а<а производная Г'(а)<0, и функция Г (а) убывает, а при а₀<а<оо будет Г'(а)>0, так что Г (а) возра­стает; при а = а₀ налицо минимум. Вычисление, которого мы не приводим, дает:

а = 1,4616 ..., min Г (а) = Г (а) = 0,8856...

Интересно установить еще предел для Г (а) при приближений а к 0 или к оо. Из (8) (и из 1°) ясно, что

при а--+0. С другой стороны, ввиду (10),

Г(а)>n!, лишь только а>n+1, т. е. Г (а) -»+ 00 и при а ->+ оо.

График функции Г (а) представлен на черт. 5.

4°. Связь между функциями В и Г. Для того чтобы установить эту связь, мы подстановкой x = ty(t>0) преобра­зуем (6) к виду:

Заменяя   здесь а на а+bи одновременно tна 1+t, получим:

Умножим теперь обе части этого равен­ства на t^a~^lи  проинтегрируем по tот 0 до оо:

В интеграле слева мы узнаем функцию В (а, b) [см. (4)]; справа же переставим интегралы.   В результате получим   [с учетом (7)  и (6)]:

откуда, наконец,

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принад­лежит Дирихле. Впрочем, для обоснования его надлежит еще оправ­дать перестановку интегралов.

Мы сделаем это, ограничиваясь поначалу предположением что a>1, b>1. Тогда для функции

оказываются выполненными все условия теоремы 5 n° 305: эта функ­ция непрерывна (и притом положительна) для y>=0 и t>=0, a интегралы

в свою очередь представляют собою непрерывные функции: первый — от tдля t>=0, второй — от у для у >=0. Ссылка на тео­рему оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (12) — для случая a>=1, b>=1.

Если же   известно лишь,   что а>0  и  b>0,  то — по доказан­ному— имеем

А отсюда, используя формулы приведения (2), (2) для функции В и (8) для функции Г, легко вновь получить формулу (12), уже без ненужных ограничений.

5°. Формула дополнения. Если в формуле (12) положить b=1—а (считая 0<а<1), то, ввиду (5) и (9), получим соотно­шение

которое и называется формулой дополнения. При a =1/2 отсюда находим (так как Г(а)>0):

Выполнив в интеграле

подстановку   г = х,    мы   вновь  получим  уже   известный  нам   ин­теграл

6°. Формула Лежандра. Если в интеграле

сделать подстановку

то получим

Заменим   в   обоих   случаях   функцию   В   ее   выражением   (12) через Г:

Сокращая на  Г(а)  и  подставляя вместо   Г(1/2)   его   значение n (см. (14)], придем к формуле Лежандра: