Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Исторические замечания о перестановке двух предельных операций, страница 2

Существует еще много других формул, выявляющих глубокие свойства функции Г. Мы не имеем возможности останавливаться здесь на них, равно как и на способах приближенного вычисления значений самой функции Г и ее логарифма. Ограничимся упомина­нием о том, что еще Лежандр, используя свойства функции Г и аппарат бесконечных рядов, составил таблицу десятичных логариф­мов Г (а) для а от 1 до 2 через 0,001, сначала с 7, а затем с 12 де­сятичными знаками.

Новая, уже не элементарная, функция Г является в такой же мере освоенной нами, как и привычные нам функции, которые мы назвали элементарными.

312. Примеры. Приведем теперь несколько простых примеров использо­вания функции Г.

1)  Интеграл

подстановкой х^т=у сразу сводится к эйлерову интегралу первого рода:

2) Вычислим интеграл

Если положить x = siny, то он приведется к интегралу

Используя предыдущий пример, будем иметь

В частности, при b=1, получим отсюда

Легко   проверить,   что   этой   одной   формулой   охватываются и  обе   фор­мулы (5) п° 187.

Если же в исходном интеграле взять а = 1 + с,   b=1- с,   где | с \ < 1, то найдем (применяя формулу дополнения)

3) Рассмотрим, наконец, еще интеграл

где р и q— взаимно простые нечетные натуральные числа. Переписав интеграл в виде

применим к нему  общую  формулу  Лобачевского,  упомянутую на  стр. 135. Условия:

при которых эта формула верна, для функции

выполнены. Таким образом получим [см. 2]

Из этих немногих примеров читателю становится ясным, насколько — благодаря введению функции Г — расширяются возможности представления интегралов в конечном виде через известные функции. Иной раз, даже если функция Г и не входит в конечный результат, получение его облег­чается использованием свойств этой функции.

313. Исторические замечания о перестановке двух предельных опе­раций. Целью этого заключительного номера является сопоставление — в историческом освещении — всего сказанного в разных местах курса по поводу перестановки двух предельных операций. Под «предельной опера­цией» мы разумеем здесь не только непосредственно предельный пере­ход по какому-либо из аргументов рассматриваемой функции, но и другие операции, в конечном счете приводящиеся к такому предельному переходу, как-то: суммирование бесконечного ряда, дифференциро­вание функции и, наконец, интегрирование функции между постоянными пределами (в собственном или несобственном смысле).

В n° 131 была речь о равенстве двух повторных пределов

Мы видели, что подобное  равенство  имеет   место  не  всегда,  и  установили некоторые условия, обеспечивающие его справедливость.  Аналогичным  было положение вещей и в n° 147 по отношению   к  равенству   двух  смешанны: производных

Глава XVI («Функциональные последовательности и ряды») главным обра­зом была посвящена именно вопросам рассматриваемого типа: там изучались условия, при которых оказывалась дозволительной перестановка опера­ции суммирования бесконечного ряда — с обычным пре­дельным переходом [n° 266, 268], дифференцированием [n° 270] и интегрированием [n° 269]. Наконец, то же можно сказать и об основном содержании настоящей главы; только на этот раз одной из пере­ставляемых операций неизменно являлась операция интегрирова­ния, которую мы — при соблюдении известных условий — так же последо­вательно переставляли с другими предельными операциями [n° 296 — 298, 304 — 307].

Еще задолго до того, как те операции, о которых здесь идет речь, были осознаны как «предельные» (а этот процесс завершился, как известно, лишь к началу XIX века), перестановка двух таких операций прочно вошла в мате­матическую практику. Она фактически осуществляется даже основополож­никами анализа: вспомним почленное дифференцирование и интегрирование рядов у Ньютона, Лейбница и их современников, а также «правило Лейбница для дифференцирования интеграла по параметру. С такой перестановкой мы непрерывно встречаемся и на всем протяжении XVIII века, чаще — без обоснования, а иной раз и с доказательствами, разумеется, на уровне стро­гости того времени; для примера упомянем рассуждения Эйлера и Клеро, обосновывающие перестановку двух дифференцирований (1739 г.). Можно сказать, что в истории математического анализа перестановка двух предель­ных операций всегда служила могущественным средством для получения многих общих утверждений и отдельных математических фактов. Но — непра­вильно примененная, она же являлась источником ошибок и парадоксов. Самая мысль о том, что перестановка двух предельных операций не всегда дозволительна, созревала медленно — именно на основе анализа ошибок, и сделалась общим достоянием около середины XIX века. Строгое же обосно­вание привычных в анализе случаев такой перестановки было завершено примерно лишь к концу века.

По отношению к простейшему вопросу о перестановке двух предельных переходов ясность была достигнута, естественно, раньше всего. На рубеже XVIII и XIX веков на простых примерах уже было отмечено, что равенство (15) может не иметь место, т. е. что повторный предел иной раз оказы­вается зависящим от того порядка, в котором производятся предельные переходы. В одной заметке Коши от 1815 г. (опубликованной в 1827 г.) мы находим последовательное и правильное изложение этого вопроса.

Точно так же как Коши, так и Гауссу было известно, что порядок инте­грирований в повторном интеграле, если подинтегральная функция терпит разрыв (например обращается в бесконечность), не может быть безогово­рочно изменен. Но отсюда было еще далеко до ясности в отношении пере­становки двух предельных операций вообще.

Нам уже приходилось упоминать [n° 281] неудачные попытки Коши даже доказать утверждения о непрерывности суммы ряда непрерывных функ­ций и о почленном интегрировании такого ряда, из которых первое сразу же было опровергнуто Абелем, а второе впоследствии вызвало возражения Чебышёва. К сказанному мы здесь добавим еще, что в 1823 г. Коши дал столь же неверное доказательство безоговорочной применимости «правила Лейбница», относящегося к дифференцированию интеграла по параметру; и это — несмотря на то, что тогда уже были известны примеры неприложи­мости упомянутого правила! Отметим, что в 1828 г. Остроградский уже ясно понимал, что — в случае обращения подинтегральной функции в бесконеч- ность—дифференцирование под знаком   интеграла   может   оказаться   недо­пустимым. Позже на это обстоятельство указывали и другие авторы.

В учебных руководствах по анализу бесконечно малых еще вплоть до сороковых годов нередко попадались неверные утверждения, относящиеся к рассматриваемым здесь вопросам. Наряду с этим умножались и примеры, подчеркивавшие необходимость осторожности в этих вопросах. Мы приве­дем из них лишь один наиболее ранний, указанный еще Фурье:

(п° 293, замечание]. Очевидно, что

с другой же стороны, дифференцирование этого интеграла по параметру а, выполненное под знаком.интеграла, приводит к результату

лишенному смысла при всех значениях в! [n° 283, 6)]

Стала отчетливо ощущаться необходимость уточнения условий, при кото­рых перестановка предельных операций — того или другого типа — оказы­вается допустимой. Этому уточнению способствовало введение в конце сороковых годов понятия равномерной сходимости ряда [п° 281] и родствен­ного ему понятия равномерной сходимости интеграла [n°301]. Однако самый процесс внесения надлежащей строгости в изложение того круга вопросов, которыми мы здесь занимаемся, потребовал еще нескольких десятилетий. Так, например, первое строгое обоснование формулы (!6) мы находим у Шварца лишь в І873 г. Еще в 1892 г. Бельгийская академия присудила де ла Валле Пуссену *) премию за сочинение, где даны условия дифферен­цирования и интегрирования под знаком интеграла, распространенного на бесконечный промежуток, и т. д.

*) Шарль Жан де ла   Валле   Пуссен   (род. в   1866 г.) — современный бельгийский математик.