Лабораторна робота  №2, розв’язання нелінійних рівнянь

Лабораторна робота  №2

розв’язання нелінійних рівнянь

Мета роботи : Навчитися програмувати розв’язання нелінійні рівняння на ЕОМ.

Завдання :

1.  Розробити процедури чи функції, що реалізують наступні методи розв’язання нелінійних рівнянь:

a)  половинного поділу (дихотомії);

b)  простої ітерації;

c)  хорд;

d)  Ньютона (дотичних);

e)  Рафсона (січних).

2.  Розв’язати рівняння

кожним з методів на ЕОМ (з використанням цих процедур і функцій) і порівняти витрати часу. Рівняння і точність розв’язання задається викладачем.

Схема расчетов:

Метод половинного деления.

Основывается на последовательном поиске точки пересечения графика функции и координатной оси OX. Сначала берется  произвольный отрезок  ab на оси OX. Затем проверяется находится ли внутри него точка пересечения графика с осью. Если нет то следует взять другой отрезок ab.

Проверка осуществляется следующим образом: сравнивается значения функций f(a) и f(b) с нулем. Если знаки функций различны, то в этом отрезке функция пересекает ось OX. Затем  для дальнейшего поиска берется точка посреди отрезка ab, например, точка  c. Проверяется какой отрезок пересекает функция – aс или cb. Если пересечение на отрезке ac то за точку b берется точка c. Если пересечение на отрезке cb, то за точку a принимается точка с. Поиск продолжается до тех пор пока |a-b|<eps или |f(a)-f(b)|<eps.

Метод касательных.

При методе касательных первоначально за точку x принимается произвольная точка на графике. Затем ищется точка пересечения касательной с осью OX по формуле x₁=x-f(x)/f’(x). Затем находится значение функции f(x₁). Если |f(x₁)|<=eps,  то x₁ является решением уравнения, иначе за точку x берется точка x₁ и продолжается поиск до тех пор пока условие |f(x₁)|<=eps не будет выполнено.

Метод хорд.

При методе хорд сначала определяется локализация корня, то есть отрезок, на котором расположен корень – отрезок ab. При поиске корня через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) проводится хорда. Определяется точка пересечения хорды с осью OX – точка c – по формуле