Спектральные представления непериодических сигналов: Методические рекомендации по выполнению лабораторной работы

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 3

СПЕКТРАЛЬНЫЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ  СИГНАЛОВ

Цель работы:Изучение преобразования Фурье и его свойств, понятий амплитудного и фазового спектров непериодических непрерывных во времени сигналов, приобретение практических навыков вычисления преобразования Фурье,  построения графиков и анализа спектров в среде Matlab.

Задание и порядок выполнения работы

1.  Ознакомьтесь с преобразованием Фурье, его свойствами, понятиями амплитудного и фазового спектров непериодического сигнала по учебной литературе, например, [1] стр. 28 – 43 или  [2] стр. 31 – 49.

2.  Используя функцию pulstran(…)  Matlab сформируйте четыре четные  последовательности прямоугольных периодических импульсов единичной амплитуды с параметрами

     а)  период Т = 1 с, длительность импульса  τ = 0.25 с,

     б) период Т = 4 с, длительность импульса   τ = 0.25 с,

     в) период Т = 8 с, длительность импульса τ = 0.25 с,

     г) период Т = 32 с, длительность импульса  τ = 25 с.

          Постройте графики этих сигналов в одном графическом окне.

        Используя функцию sinc(x) Matlab,    выразите с её помощью коэффициенты ряда Фурье прямоугольной периодической последовательности.    Обратите при этом внимание, что в Matlab ,  т.е. переменная  x в  sin(x)/x  умножена  на  π.

 Постройте в одном графическом окне графики зависимостей амплитудных спектров сигналов из п.2 от значений  аргумента   (k – номер гармоники, Т – значение периода).  Пронаблюдайте поведение спектра при изменении периода и сделайте вывод о поведении плотности линий и огибающей спектра при .  
         Какой  характер спектра  можно предполагать для непериодического прямоугольного импульса?  Какое различие и связь между спектрами периодического и непериодического сигналов?

3.  Аналитически определите прямое преобразование Фурье для сигнала, заданного в индивидуальном задании,  и постройте графики амплитудного и фазового спектров сигнала. Пример выполнения этого пункта приведен в Приложении 2.

4.  Напишите функцию (.m - файл) вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с синтаксисом

                                                     ,

где x – N -точечный вектор значений  x(0),…,x(N-1) сигнала и X- вектор значений  ДПФ. В функции  с использованием циклов  for по n  и k и встроенной функции sum() должно вычисляться ДПФ по формуле

                              .

5.  Вычислите с помощью функции dftsum(x)  ДПФ сигнала, заданного в п.3, и постройте графики его амплитудного и фазового спектров. Соответствующий пример представлен в Приложении 3.

6.  Ознакомьтесь со встроенной в Matlab функцией  fft()  для вычисления ДПФ по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ). Связь преобразования Фурье непрерывного времени (НВПФ) и дискретного преобразования Фурье (ДПФ) показана в Приложении 4.

      С помощью функции fft() проведите вычисление спектра  сигнала из индивидуального задания с масштабированием шкалы частот. Постройте в одном графическом окне графики амплитудного спектра, вычисленные в п. 3,5,6.

  Для сопоставления результатов, возвращаемых fft(), со  значениями преобразования Фурье  сигнала  возвращаемые функцией fft() значения  должны быть промасштабированы, а именно , где T – длительность анализируемого сигнала,  N – количество точек, в которых определяется спектр, Т_S - интервал отсчетов.  См. Приложение 4  и Приложение 5.
Пояснение. Чтобы применить процедуру fft() для представления сигнала в частотной области с соответствующим масштабированием шкалы частот необходимо

§  по значению интервала отсчетов   (Т – длительность сигнала, с) определить максимальную частоту  анализа  Fmax (в герцах) по формуле
                                        ,

§  найти частотное разрешение, т.е.  минимальное расстояние между частотами  в частотной области
                                        ,

§  провести вычисления с помощью fft(),

§  применить процедуру fftshift(), которая переставляет местами первую и вторую половину частотного спектра, возвращаемого fft(),.

§  сформировать вектор значений частот  по выражению        .

§  построить  график амплитудного и/или  фазового спектра сигнала в зависимости от частоты.

7.   Изучите свойства преобразования Фурье [Л.1, стр.35-38]. Ознакомьтесь с программой, приведенной в Приложении 6. Эта программа иллюстрирует  (не доказывает) основные свойства  преобразования Фурье. Выполните  программу, сформулируйте соответствующее свойство, его доказательство  и прокомментируйте  результаты  выполнения соответствующего фрагмента программы, относящееся к соответствующему свойству.

8.  Составьте отчет по лабораторной работе. В отчете должны быть представлены

§  титульный лист,

§   название и цель работы,

§  формулировки  (заголовки) пунктов работы, команды и  .m – файлы,
графики, комментарии,  выводы.

9.   Проверьте усвоение материала по контрольным вопросам, отчитайтесь в выполнении работы.

Литература

1.  Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов.: Уч. пособие.- Новосибирск. Изд-во НГТУ,  1998 - ч.1.

2.  Сергиенко А.Б.  Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003.

3.  Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Задачник-практикум по теории и обработке сигналов.: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.

Web – ресурсы

1.  http://tiger.cs.nstu.ru/tos/nperiodic/start.html

2.  http://www.jhu.edu/~signals/ctftprops-mathml/index.htm

3.  http://users.ece.gatech.edu/~bonnie/book/FourierTransformOfExponentialSignal/BIN/applet.html

Контрольные вопросы и упражнения

1.  Запишите формулы прямого и обратного преобразования Фурье и объясните их физический смысл.

2.  Как связаны преобразование Фурье и ряд Фурье? Получите  и объясните соответствующее выражение.

3.  Сформулируйте условия существования (сходимости) преобразования Фурье.

4.  Что такое амплитудный спектр непериодического сигнала и каковы его особенности? Объясните физический смысл амплитудного спектра.

5.  Как по спектральной плотности сигнала найти вклад определенной частоты в  функцию сигнала?

6.  Приведите определение фазового спектра сигнала. Что он выражает?

7.  Как по спектру Фурье найти сам сигнал как временную функцию?

8.  Определите преобразование Фурье, амплитудный и фазовый спектры сигнала . Постройте графики спектров в Matlab. Используя свойство изменения масштаба, получите преобразование Фурье функции .  Как соотносятся сигналы    и их спектры?