Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Спектральные представления непериодических сигналов: Методические рекомендации по выполнению лабораторной работы, страница 2

9.  Дано дифференциальное уравнение, связывающее вход x(t) и выход y(t) системы
                                .
Найдите преобразование Фурье этого уравнения.  Определите отношение преобразований Фурье левой и правой части, т.е.   . Постройте в Matlab графики модуля и фазы этого отношения от частоты для   . Дайте интерпретацию физического смысла функций на графиках.

10. Используя свойства линейности и временного сдвига преобразования Фурье,  постройте амплитудный спектр сигнала

11.    С помощью функции  fourier()  Matlab найдите преобразование Фурье сигнала .  Постройте амплитудный спектр этого сигнала.
12. Определите часть энергии сигнала, содержащуюся в основном лепестке спектра прямоугольного сигнала длительностью  τ.  Пояснение:  используйте при необходимости функцию int()  Matlab.    

13. Какова связь между длительностью сигнала и шириной его спектра? Как это  можно обосновать?

14.  В среде  Matlab найдите преобразование Фурье сигнала s(t) и постройте график его амплитудного спектра с масштабированием шкалы частот

Приложение 1.   Индивидуальные задания 

1.  Односторонний экспоненциальный сигнал
             


2.  Гауссовский импульс

           

3.  Косинусоидальный  импульс
      .

4.   Несимметричный треугольный импульс

             

Указание. Используйте свойство частотного сдвига преобразования Фурье.    

5.  Односторонний  треугольный импульс
 
 


1
 
                        

Т
 

t
 
 



6.  Два прямоугольных импульса

.

Указание. Используйте теорему (свойство) линейности  и  свойство сдвига.

7.  Двусторонний экспоненциальный сигнал
.             

8.  Сигнал вида
               
Указание. Используйте свойство частотного сдвига преобразования Фурье.    

9.    Прямоугольный импульс

.

10.    Косинусоидальный импульс
                         .

11.   Синусоидальный импульс

           

Приложение  2.

Сигнал – симметричный треугольный импульс

Преобразование Фурье сигнала                

Файл - сценарий

T=10;

dt=0.1; % задание интервала отсчетов

t=-T:dt:T;   % длительность сигнала

A=5; s=A*(1-abs(t)/T); % определение сигнала

% Дополнение нулями для повышения частотного разрешения

s1=[zeros(1,4*length(t)),s, zeros(1,4*length(t))];

df=1/(9*T); Fmax=1/dt; % задание частотной шкалы

f=-Fmax:df:Fmax;

S=A*T*sinc(f*T).^2; % выражение комплексного спектра

% построение графиков сигнала и спектров

subplot(311), plot(t,s)

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Cигнал')

subplot(312), plot(f,abs(S))

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Амплитудный спектр')

subplot(313), plot(f,angle(S))

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Фазовый спектр')

Приложение 3. Пример вычисления ДПФ с помощью функции dftsum()

% Вычисление спектра и построение его графиков

%

T=10; dt=1; % Определение интервала времени

t=-T:dt:T;

N=length(t);

A=5; s=A*(1-abs(t)/T);   % задание сигнала

% Добавление нулей к сигналу для увеличения частотного разрешения

S=[zeros(1,2*N)  s  zeros(1,2*N)];

df=1/(dt*length(S)); Fmax=1/dt;   % определение частотной шкалы

f=-(Fmax-df)/2:df:Fmax/2;

y1=dftsum(S); y1p=fftshift(y1);    % вычисление и сдвиг ДПФ

% Построение графиков сигнала и его спектров

figure(1), subplot(311), plot(t,s)

set(gca,'FontName','Arial Cyr', 'FontSize',12)

title('Сигнал')

subplot(312), plot(f,abs(y1p),'o-')

set(gca,'FontName','Arial Cyr', 'FontSize',12)

title('Амлитудный спектр'),grid

subplot(313), plot(f,angle(y1p)),

set(gca,'FontName','Arial Cyr', 'FontSize',12)

title('Фазовый спектр')

xlabel('Частота,  Гц'), grid

Графики

Приложение 4. Связь преобразования Фурье непрерывного времени (НВПФ) и дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Выражение прямого ДПФ для последовательности x[n] из N чисел

Пусть из непрерывного по времени сигнала x(t) берутся отсчеты с интервалом  TS и этот сигнал равен нулю за пределами интервала [0, (N-1)TS].

Преобразование Фурье такого сигнала

.

Значения НВПФ на частотах ,      TSN – продолжительность (длина) сигнала.

Следовательно, НВПФ сигнала  на частотах  равно ДПФ,  умноженному  на значение интервала отсчетов ТS.  Аппроксимация тем точнее, чем меньше интервал отсчетов TS, в пределах которого сигнал не должен существенно измениться.

Приложение 5.

% Процедура сопоставления преобразования Фурье

% и его вычисления с помощью функции fft()

T=8;% длительность  процесса

N=128; % число точек

Ts=T/(N-1); % интервал отсчетов

t=0:Ts:T; % временной интервал

tau=2; % длительность импульса

x=rectpuls(t,tau); % генерирование прямоугольного импульса

figure(1);

subplot(311), plot(t,x) % график сигнала

title(' График сигнала')

Fmax=1/Ts; % максимальная частота

df=1/T; % частотное разрешение

f=-Fmax/2:df:Fmax/2; % частотная шкала

X=fft(x,N); % БПФ сигнала

Xp=fftshift(X); % частотный сдвиг

A=abs(Xp);

subplot(312), plot(f,A*Ts)

title('fft- Амплитудный спектр сигнала')

S=sinc(f*tau/2)*tau/2; % преобразование Фурье сигнала

% график

subplot(313), plot(f, abs(S))

xlabel('  Частота,  Гц')

title(' Амплитудный спектр сигнала ')

Приложение 6.

% Процедура иллюстрации свойств преобразования Фурье

N = 128; %  Длина сигналов

k = 0:N-1;

gamma = -0.5;

g = exp(gamma*k);

% g - экспоненциальная функция

h = sin(2*pi*k/(N/2));

figure(1),plot(k,g,k,h)

% h - синусоидальная последовательность с периодом = N/2

% вычисление преобразований Фурье сигналов

[G,w] = freqz(g,1,512);

[H,w] = freqz(h,1,512);

% Свойство линейности

alpha = 0.5;

beta = 0.25;

y = alpha*g+beta*h;

[Y,w] = freqz(y,1,512);

% Графики Y и  alpha*G+beta*H для проверки их равенства

figure(2), subplot(211),plot(abs(Y))

subplot(212), plot(abs(alpha*G+beta*H))

% Свойство временного сдвига

n0 = 12; % y2 - последовательность y, сдвинутая на 12 отсчетов

y2 = [zeros([1,n0]) g];

[Y2,w] = freqz(y2,1,512);

G0 = exp(-j*w*n0).*G;

% Графики амплитудных спектров

figure(3), subplot(211), plot(abs(G0))

subplot(212), plot(abs(Y2));

% Свойство изменения масштаба

a=0.1;% Коэффициент изменения масштаба

g1= exp(gamma*k*a);

figure(4),plot(k,g,k,g1) % Графики во временной области

[G,w] = freqz(g,1,512);

G1 = freqz(g1,1,512);

% Графики спектров

figure(5), subplot(211), plot(w',abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(G1))

% Свойство свертки

y5 = conv(g,h);

[Y5,w] = freqz(y5,1,512);

figure(6), subplot(211), plot(abs(Y5))

subplot(212), plot(abs(G.*H))

% Теорема Парсеваля

val1 = sum(g.*conj(h));

val2 = sum(G0.*conj(H0))/512;

% Сравнение val1 с  val2

disp('Разность   val1-val2 = '),disp(val1-val2)

Составил  доц.  Щетинин  Ю.И.

Скачать файл