Разработка эллиптического фильтра нижних частот. Вариант 22

      Министерство образования РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Курсовая работа по предмету ТОС.

«Разработка эллиптического ФНЧ»

Факультет: АВТ

Группа: АО-81

Студент: Киселев М.Н.                Преподаватель: Щетинин Ю.И.

Вариант: 22.

Новосибирск, 2001.

Содержание

Техническое задание................................................... 3

Введение............................................................................... 4

1.  Определение порядка ФНЧ-прототипа......................................... 5

2.  Определение коэффициентов уравнения ФНЧ-прототипа...... 5

3.  Определение передаточной функции............................................ 5

4.  Получение цифрового фильтра с заданными характеристиками.................................................................................. 7

6.  Проверка работоспособности фильтра....................................... 10

Заключение...................................................................... 12

Литература........................................................................ 13

Техническое задание

Разработать эллиптический фильтр нижних частот со следующими характеристиками:

Пульсации в полосе задерживания не менее      дБ.

Пульсации в полосе пропускания  не более дБ.

f_s1 =  200Гц – граничная  частота среза полосы пропускания

f_s2 =  230Гц – граничная  частота среза полосы задерживания

Введение

Существует большое разнообразие фильтров. Они классифицируются по разным параметрам. Например, по типу обрабатываемого сигнала фильтры бывают аналоговые и цифровые; по виду их АЧХ (по частотам пропускания и заграждения) бывают ФНЧ (низких частот), ФВЧ (высоких частот), ПФ (полосовые) и РФ (режекторные); по типу аппроксимирующей функции фильтры бывают: Баттерворта, Чебышева (равноволновые), Бесселя, Кауэра (эллиптические) и др.

Встречаются обстоятельства, когда желательно иметь конечные нули передачи. В 1931 году Кауэр показал, что можно получить гораздо лучшую аппроксимацию идеализированных  амплитудно-частотных характеристик фильтров нижних частот, если использовать фильтр с конечными нулями передачи. Он нашел, что при надлежащем выборе нулей и полюсов можно спроектировать фильтр с разноволновым затуханием как в полосе затухания, так и  полосе задерживания. Поскольку координаты нулей в таких фильтрах определяются эллиптическими функциями классической теории поля, эти фильтры часто называют эллиптическими. Другое их название – фильтры Кауэра, поскольку впервые их описание появилось в работе Кауэра.

Эллиптический фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику, которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и является лучшим среди всех фильтров нижних частот в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристики в полосах пропускания и задерживания обладает самой узкой шириной переходной области.

В данной работе будет разработан эллиптический фильтр и продемонстрированы его преимущества.

Постоянные параметры А, В, С для расчета эллиптического фильтра вычисляются крайне сложно. Этот процесс требует знаний эллиптический функций Якоби. Поэтому, в данной работе, эти коэффициенты берутся из таблицы [1, стр. 82].
Расчет фильтра

1.  Определение порядка ФНЧ-прототипа

Исходя из значений технического задания, а именно пульсаций в полосе задерживания и пульсаций в полосе пропускания по монограмме определяем порядок эллиптического фильтра. По графику он получается около 9.4

Так как порядок фильтра должен быть целым числом, а по монограмме определяется минимальное значение порядка, нужного для реализации фильтра с заданными характеристиками, то округляем n до 10.

Частоту дискретизации рассчитываем из учета того, что если взять максимальную исследуемую частоту порядка 5 частот среза и воспользовавшись теоремой Котельникова о том, что интервал дискретизации находится по формуле:

Определяем нормируемую границу полосы задерживания.

2.  Определение коэффициентов уравнения ФНЧ-прототипа

Коэффициенты берутся из таблицы для данных [1, стр. 82], соответствующих заданным значениям пульсаций для порядка 10.

3.  Определение передаточной функции

Из справочника возьмем формулу, описывающую эллиптический фильтр n-го порядка. Если

есть передаточная функция 2-го порядка [1, стр.68], то передаточная функция 10-го порядка будет выглядеть так:

При этом АЧХ фильтра такова:

Для того чтобы посмотреть на колебания в зоне подавления сигнала немножко увеличим масштаб:

В итоге получили характеристику эллиптического фильтра.

Теперь проверим соответствие полученных характеристик теми, что даны в техническом задании. Для этого постоим график, позволяющий оценить пульсации в полосе пропускания и задерживания.

Как видно из графика, пульсации в полосе задерживания не менее 60 дБ.

Пульсации в полосе задерживания практически  не более 0.5 дБ, что тоже соответствует техническому заданию.

4.  Получение цифрового фильтра с заданными характеристиками.

Воспользуемся билинейным преобразованием.

Сделаем  следующую подстановку в передаточную функцию:

Отсюда получаем что:

или, что то же самое

Коэффициенты в маткаде получаются длинные, поэтому их немного округлил. Причем, чтобы не потерять значимость округление производилось так:

Сначала построил график W(z), а потом начинал удалять по одной цифре. Если вид графика заметно не менялся, то удалял еще одну цифру, а если изменялся, то возвращал цифру назад и переходил к следующему коэффициенту.

После этого легко получаем разностное уравнение:

5.Оценка соответствия фильтра техническому заданию

Построим на графике АЧХ цифрового фильтра, а затем оценим, насколько изменились его характеристики по сравнению с аналоговым (частота среза, пульсации в зоне пропускания и задерживания)

АЧХ

Частота среза цифрового фильтра получилась равна 200 Гц, как и требуется в техническом задании. Наклон характеристики получился более крутым, так как порядок взят несколько выше, чем получалось из монограммы (10, а не 9.4) и из-за свойств билинейного преобразования. Но это как раз и есть положительное качество эллиптического фильтра: при не очень больших порядках характеристика получается довольно крутая.

Проверим пульсации в полосе задерживания и сравним их с полученными в аналоговом фильтре:

 

Как видно из графика, пульсации в полосе задерживания, начинающейся с 230Гц, более 60 дБ, что соответствует техническому заданию.

Проверим пульсации в полосе пропускания и сравним их с полученными в аналоговом фильтре:

Как видно из графика, пульсации в полосе пропускания (до 200Гц), менее 0.5 дБ, причем у цифрового фильтра даже меньше, чем у аналогового.

6.  Проверка работоспособности фильтра

Зададим сигнал с частотой 100Гц (полоса пропускания) и наложим на него помеху частотой 300Гц (частота задерживания). Пусть помеха и сигнал равны по амплитуде.

Х – это сигнал, подаваемый на фильтр (полезный сигнал + помеха)

У – это сигнал на выходе фильтра

Если сравнить исходный сигнал и сигнал после фильтра, то получим:

Как видно, фильтр немножко сдвигает сигнал, то есть задерживает.

Рассчитаем значения максимального ослабления в полосе пропускания и минимального ослабления в полосе задерживания:

Полезный сигнал на входе фильтра имеет амплитуду 1, на выходе 0.979

Ослабление рассчитывается как:

то есть меньше 0.5 дБ в полосе пропускания.

Помеха на входе фильтра имеет амплитуду 1, на выходе 0.00037

Ослабление рассчитывается как:

то есть больше 60 дБ

В итоге получили малое ослабление полезного сигнала и значительное ослабление помехи. Величины ослабления соответствуют техническому заданию.

Заключение

В ходе данной работы был выполнен расчет цифрового эллиптического фильтра или фильтра Кауэра. Полученный фильтр соответствует требованиям технического задания, причем переходная полоса получилось очень узкой. Это характеризует фильтр с лучшей стороны, так как основной плюс эллиптического фильтра – это узость его переходной зоны при не очень большом порядке фильтра.

Также с помощью данного фильтра проведена фильтрация тестового сигнала. Сигнал на выходе фильтра совпадает по форме с гармоникой тестового сигнала, частота которой лежит в полосе пропускания фильтра. При этом максимальное ослабление в полосе пропускания и минимальное ослабление в полосе задерживания соответствуют требованиям.

Литература

1. Д. Джонсон, Дж. Джонсон Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат 1983.

2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. "Теория и обработка сигналов" часть 2, учебное пособие. Новосибирск: НГТУ 1998.

3. Лем Г. "Аналоговые и цифровые фильтры: расчёт и реализация". М.: "Мир" 1982.

4. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. М.: Радио и связь 1983.

5. Голованов В.В. "Проектирование аналоговых и цифровых фильтров". М.: 1983.