Приближение функции различными методами. Численные методы интегрирования. Поиск числовых значений производных функций численным методом, страница 3

Метод наименьших квадратов с использованием ортогональных многочленов Чебышева даёт ещё более точный результат вычислений. При той же степени полинома (m=4) метод Чебышева даёт простое отклонение около 0.001. Квадратичное же отклонение, естественно, будет ещё меньше.

О точности приближения сплайн-методом было уже сказано выше. Этот метод для заданного n позволяет вычислять значения функции с точностью до 8 знака (и выше).

Тригонометрическая интерполяция даёт малую точность вычисления. Это связано с небольшим значением n. При увеличении n точность заметно возрастает.

Задача №2. «Численные методы интегрирования».

Численное интегрирование с использованием сплайн-функции.

Нам известно, что кубический сплайн приближает исходную функцию f(x) на интерполяционной сетке x₀<x₁<…<x_n с высокой точностью. Поэтому интеграл можно приближённо вычислить по формуле:

Процедура Spline – та же, что и в методе интерполирования с применением сплайн-функции.

Зададимся опорными точками:

Значение интеграла функции f(x)=1/(1+x²) на интервале [a;b] равно:

Значение интеграла, вычисленного с использованием сплайн функции:

Погрешность вычисления составляет:

Эта погрешность отражена на графике:

Метод трапеций.

Решение задачи вычисления интеграла методом трапеций заключается в разбиении отрезка [a;b] на множество отрезков меньших размеров и вычислении интеграла как суммы, приближённо вычисленных площадей полосок, получившихся при таком разбиении (см. рис. 1).

                               Рис. 1

Таким образом величину определённого интеграла можно оценить по следующей формуле:

  

Исходные данные:

Реальное значение интеграла (вычисленное в среде MathCAD):

Вычисление интеграла методом трапеций:

Как видно, метод трапеций даёт отклонение от реального значения.

Ошибку ограничения метода трапеций можно вычислить по следующей формуле:

где, а

Процедура для вычисления ошибки метода трапеций:

- значение ошибки

Окончательное значение функции с учётом ошибки:

Граф вычислительного процесса:

 

                                                                                                                                  +1

 

                                                                                                                      +1

 

                                                                                                                                                                     

                                                     * * *                                            

 

                                                                                                           +1

 

                                                                                               +1

                                                                                              

 

+1

                                                                                       +1

                        +1

                                                                      

                                                                       +1

 

Метод Симпсона.

Для правила Симпсона в качестве функции, с помощью которой осуществляется приближение исходной функции на частичных отрезках интегрирования, выбрана парабола. Это позволяет уменьшить ошибку интегрирования по сравнению, например, с методом трапеций, в котором приближение на отрезках осуществляется линейными функциями.

Формула для вычисления интеграла по методу Симпсона имеет следующий вид:

Начальные условия:

Реальное значение интеграла: