Преобразование функции f(x)= exp(-(x+1)/x) численными методами

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра ВТ

Расчетно-графическая работа

по дисциплине

«Вычислительная математика»

Вариант:     25

Факультет: АВТ

Группа:       АМ-415

Студент:     Баженов К. О.                                      Преподаватель: Трошина Г.В.

Новосибирск, 2006

Содержание

1. Цель работы………………………………………………………………………………...2

2. Задание……………………………………………………………………………………...2

3. Приближение функции f(x) различными методами……………………………………...3

3.1 Метод наименьших квадратов……………………………………………………3

3.2 Метод наименьших квадратов с использованием ортогональных

многочленов Чебышева……………………………………………………………....13

3.3 Метод интерполирования с применением сплайн-функций…………………...16

3.4 Метод интерполирования тригонометрическими многочленами……………..19

4. Численные методы интегрирования………………………………………………………22

            4.1 Численное интерполирование с использованием сплайн-функций…………...22

            4.2 Метод трапеций…………………………………………………………………...25

            4.3 Метод Симпсона…………………………………………………………………..26

5. Нахождение значений производных функций численным методом……………………27

6. Заключение………………………………………………………………………………….33

7. Литература…………………………………………………………………………………..33

1. Цель работа

Приобретение навыков использования методов вычислительной математики для решения задач с использованием доступных средств компьютерной поддержки, проведение сравнительного анализа эффективности применения алгоритмов решения задач, анализ и верификация результатов решения

2. Задание

РГР содержит 3 задачи из различных разделов вычислительной математики, каждая из которых связана с преобразованием функции

f(x)= exp(-(x+1)/x) численными методами.

Первая задача посвящена приближению функции f(x) различными методами, такими как: метод наименьших квадратов; метод наименьших квадратов с использованием ортогональных многочленов Чебышева; метод интерполирования с применением сплайн-функций; метод интерполирования тригонометрическими многочленами.

Во второй задаче рассматриваются численные методы интегрирования: численное интегрирование с использованием сплайн-функций; метод трапеций; метод Симпсона.     

Содержание третьей задачи составляет нахождение числовых значений производных численным методом.

При решении задач предметом исследования является одна функция, заданная вариантом на определенном интервале: в моем случае – [1;5]. Область определения функции может быть изменена (по усмотрению) в случаях, когда имеются точки разрыва внутри рассматриваемого промежутка или производная меняется в значительных пределах. Ориентировочно число интервалов разбиения области существования функции 6-8. В случае необходимости число интервалов может быть увеличено, но не превышать 20.

В качестве оценки точности вычислений выбирать величины абсолютной и относительной погрешности при их значениях, не превышающих величин     

В заключительной части работы должны быть приведены результаты сравнения расчетов с результатами, полученными на основе применения математического пакета (любого из доступных) для непосредственного решения задачи. Должны быть сделаны выводы о проведенной работе, отмечены недостатки и достоинства алгоритмов, указаны (по возможности) перспективы развития проблем, связанных с данной задачей.

3. Приближение функции f(x) различными методами

3.1  Метод наименьших квадратов

Отрезок: a=1 , b=5     Шаг: h=0.5

Число узлов интерполирования: n=8

Начальная степень полинома: m=0

Промежуточные точки:

Величина остатков велика, будем искать полином первой степени

Степень полинома : m=1

Промежуточные точки:

Величина остатков dy по прежнему велика по сравнению с заданной е, значит будем искать полином второй степени

Степень полинома: m=2

Промежуточные точки:

Величина остатков dy по прежнему велика по сравнению с заданной е, значит будем искать полином третьей степени

Степень полинома: m=3