Периодические и непериодические сигналы

2.4. Периодические сигналы.

2.4.1. Ряд Фурье

.

Сигнал s(t) называется периодическим, если он точно повторяет свои значения через одинаковые интервалы времени , т.е.

                                    ,                            (2.37)

где  n = 0, 1, 2, ...

При этом наименьший интервал повторения Т называется периодом, а частота повторения  f₀ =1/T  называется основной частотой. В строгом смысле периодический сигнал физически неосуществим, так как реальный сигнал не может продолжаться вечно. Поэтому  периодический сигнал - это полезная математическая модель.

Любой конечный периодический с периодом Т сигнал можно разложить в ряд Фурье вида

где     

Коэффициенты этого ряда

и

Эта форма ряда называется тригонометрической. Она представляет собой частный случай обобщенного  ряда Фурье по конкретной тригонометрической системе ортогональных функций 1, cosw₀t,  sinw₀t,  cos2w₀t,  sin2w₀t, ...

В выражениях (2.39),  (2.40) в качестве интервала интегрирования может использоваться любой интервал длиной  Т, в частности  Отсюда очевидно следует, что для четной функции s(t) = s(-t)  все коэффициенты        b_k = 0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов

(2.41)

Для нечетной функции s(t) = -s(t) все коэффициенты a_k = 0  и соответствующий ряд Фурье не содержит косинусов

            (2.42)

В математическом анализе [7],[9] доказывается, что если периодическая функция s(t)  удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится к самой функции в точках непрерывности функции и к полусумме

                                   

в точках разрыва. Для непрерывной функции ее коэффициенты Фурье убывают со скоростью , а, если s(t)  имеет конечные разрывы, то со скоростью

Тригонометрический ряд Фурье можно записать также в виде

где

Переход от  A_k  к  a_k  и  b_k  осуществляется по формулам

                                                           (2.45)

Ряд Фурье функции  s(t)  можно представить и в комплексной (экспоненциальной) форме

Коэффициенты этого ряда

Выражения, связывающие коэффициенты комплексной и тригонометрической форм ряда Фурье, имеют вид

                                                                  (2.48)

                        .                                (2.49)

Комплексная форма представляет собой частный случай обобщенного ряда, когда в качестве базиса разложения используется ортогональная система комплексных экспонент   exp{ikw₀t}, где  k = 0, ±1, ±2, ...  Комплексная форма более удобна для аналитических преобразований.

Пример. Разложим в ряд Фурье “выпрямленное” синусоидальное напряжение  u(t) = Usinpt,   0 £ t £ 1  (рис.  2.2).

u(t)

                     

               Рис.2.2.Вид “выпрямленного” синусоидального напряжения

Данная функция четная, поэтому все коэффициенты b_k =0. В интервале        [0, 1]  функция определяется формулой u(t) = Usinpt, при этом  Т = 1,   w₀ = 2p. Найдем коэффициенты  a_k

                       

                       

Для всех   k ¹ 0,   cos(1±2k)p = -1   и        

Таким образом, ряд Фурье для рассматриваемого примера имеет вид

                       

2.4.2. Спектры периодических сигналов.

В теории сигналов широкое применение получило понятие спектра сигнала, имеющего смысл, связанный с разложением сигнала на частотные составляющие. Основой спектрального разложения периодического сигнала является представление его в виде ряда Фурье:

Оно показывает, что периодический сигнал с периодом  Т  имеет частотные (спектральные) составляющие с угловыми частотами 0, w₀,  2w₀, ..., nw₀, ...,   где   

Совокупность величин  A_k = A_k(kw₀) образует амплитудный частотный спектр сигнала, а совокупность  j_k = j_k(kw₀) - фазовый частотныйспектр. Каждая отдельная компонента спектра называется гармоникой с соответствующим номером в виде

                       

Комплексной гармонике

можно придать следующий смысл в комплексной плоскости.

Величина    определяет в этой плоскости вектор, имеющий длину   и составляющий угол    с положительной вещественной осью (рис.2.3).

Конец этого вектора при возрастании времени t  описывает окружность радиуса  ½S_k½  , при положительном  k  вектор вращается в положительном направлении против часовой стрелки с угловой скоростью   w_k = kw₀, а при отрицательном   k  - по часовой стрелке с той же угловой скоростью, гармоника  получается сложением этих векторов.

                        Рис. 2.3.  Представление комплексной гармоники

Спектр имеет составляющие только на частотах  0, w₀, 2w₀, ..., kw₀, ...  или  0, ±w₀, ±2w₀, ..., ±kw₀, поэтому он является линейчатым (не сплошным).

Пример графического представления спектра амплитуд и спектра фаз периодического сигнала показан на рис.2.4.