Периодические и непериодические сигналы, страница 2

 jk

 

Ak

 

0    w1w2w3w4w5w6

 

j5

 

j4

 

j3

 

j2

 

j1

 

w

 

w

 

A6

 

A5

 

A4

 

A3

 

A2

 

A1

 

A0

 

                                     

0    w1w2w3w4w5w6

 
 



Рис. 2.4. Графическое представление амплитудного и фазового спектров

            периодического сигнала

Напомним, что для непрерывного сигнала  s(t) амплитуды гармоник убывают со скоростью не менее  1/k2, для сигнала, имеющего разрывы 1-го рода, - со скоростью не менее 

Для комплексного ряда Фурье

                                    .                                                           (2.51)

Комплексные гармоники  Sk  и  S-k  являются комплексно- сопряженными величинами.

Действительно,

                                                                                         (2.52)

                                                                                         (2.52a)

и, следовательно   

Из этого следует, что спектр амплитуд  ½Sk½  - четная функция, а спектр фаз - нечетная функция. На рис. 2.5 дан пример графического представления спектра амплитуд и спектра фаз периодического сигнала для комплексной формы ряда Фурье.

Ввиду симметрии для действительного сигнала  s(t)  достаточно отображать только часть спектра, соответствующую положительным частотам.

w

 

- 4w0-3w0 -2w0-w00     w0   2w0 3w04w0 5w0

 

 |Sk|

 

arg Sk

 

w

 

        

         


Рис. 2.5.  Графики амплитудного и фазового спектра для комплексной формы ряда Фурье

Другая возможная форма представления спектра при комплексной форме Фурье - использование действительной части  Re[Sk]  и мнимой части  Im[Sk]  для каждого комплексного  значения  Sk.

Пример. Рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис.2.6), которая широко используется в системах различного назначения.

T

 

0

 

 

 

 t

 

 A

 


       Рис. 2.6. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем коэффициенты Фурье данного сигнала:

            =                                   (2.53)

Функция в квадратных скобках имеет вид  В теории сигналов она играет важную роль, обозначается как  sinc(x) = sin x/x   и называется функцией отсчетов. Ее график показан на рис. 2.7.  Функция осциллирует с периодом 2p, спадая по амплитуде с увеличением аргумента и переходя через 0 в точках   x = ±p, ±2p, ±3p, ...

2p

 

p

 

0

 

 x

 

sinc(x)

 


                                    Рис. 2.7. График функции sinc(x)

Запишем ряд Фурье рассматриваемого сигнала через функцию отсчетов. Так как

                             то                          и

                                                                        (2.54)

На рис. 2.8 изображены амплитудные спектры прямоугольной последовательности импульсов для двух случаев:

a)         A = 1,   T = 0,25 c,    t = 0,05 c,

б)         A = 1,   T = 0,5 c,      t = 0,05 c.

Видно, что с увеличением периода  Т спектр становится более “частым”.

 wk

 
            

 wk

 
            

            Рис. 2.8. Спектры прямоугольной последовательности импульсов

                            при различных значениях периода следования

2.4.3. Распределение мощности в спектре периодического сигнала.