Периодические и непериодические сигналы, страница 2

jk   Ak   0    w1w2w3w4w5w6   j5   j4   j3   j2   j1   w   w   A6   A5   A4   A3   A2   A1   A0                                         0    w1w2w3w4w5w6

Рис. 2.4. Графическое представление амплитудного и фазового спектров

            периодического сигнала

Напомним, что для непрерывного сигнала  s(t) амплитуды гармоник убывают со скоростью не менее  1/k², для сигнала, имеющего разрывы 1-го рода, - со скоростью не менее 

Для комплексного ряда Фурье

                                    .                                                           (2.51)

Комплексные гармоники  S_k  и  S_-k  являются комплексно- сопряженными величинами.

Действительно,

                                                                                         (2.52)

                                                                                         (2.52a)

и, следовательно   

Из этого следует, что спектр амплитуд  ½S_k½  - четная функция, а спектр фаз - нечетная функция. На рис. 2.5 дан пример графического представления спектра амплитуд и спектра фаз периодического сигнала для комплексной формы ряда Фурье.

Ввиду симметрии для действительного сигнала  s(t)  достаточно отображать только часть спектра, соответствующую положительным частотам.

w   - 4w0-3w0 -2w0-w00     w0   2w0 3w04w0 5w0    |Sk|   arg Sk   w

Рис. 2.5.  Графики амплитудного и фазового спектра для комплексной формы ряда Фурье

Другая возможная форма представления спектра при комплексной форме Фурье - использование действительной части  R_e[S_k]  и мнимой части  I_m[S_k]  для каждого комплексного  значения  S_k.

Пример. Рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис.2.6), которая широко используется в системах различного назначения.

T   0    t    A

       Рис. 2.6. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем коэффициенты Фурье данного сигнала:

            =                                   (2.53)

Функция в квадратных скобках имеет вид  В теории сигналов она играет важную роль, обозначается как  sinc(x) = sin x/x   и называется функцией отсчетов. Ее график показан на рис. 2.7.  Функция осциллирует с периодом 2p, спадая по амплитуде с увеличением аргумента и переходя через 0 в точках   x = ±p, ±2p, ±3p, ...

                                    Рис. 2.7. График функции sinc(x)

Запишем ряд Фурье рассматриваемого сигнала через функцию отсчетов. Так как

                             то                          и

                                                                        (2.54)

На рис. 2.8 изображены амплитудные спектры прямоугольной последовательности импульсов для двух случаев:

a)         A = 1,   T = 0,25 c,    t = 0,05 c,

б)         A = 1,   T = 0,5 c,      t = 0,05 c.

Видно, что с увеличением периода  Т спектр становится более “частым”.

            Рис. 2.8. Спектры прямоугольной последовательности импульсов

                            при различных значениях периода следования

2.4.3. Распределение мощности в спектре периодического сигнала.