Определение свертки двух сигналов

Задачи  5

1.  Определить свертку двух сигналов  x₁(t) и x₂(t)

Решение.

Интеграл свертки имеет вид      .

Для вычисления будем использовать геометрический смысл операции непрерывной свертки: зеркальное отражение (инверсия) одной из функций, сдвиг её на значение аргумента t, перемножение функций, интегрирование  и повторение операций для другого значения t.

 

 

Если,  то x₁(t) и x₂(t)  будут не перекрываться и их произведение будет равно нулю. Рис., расположенный ниже, показывает вид получающейся свертки, при этом

2. Определить выходной сигнал линейной системы непрерывного времени , входной сигнал x(t) и импульсная характеристика  h(t) которой имеют вид
   

Решение.

Выходной сигнал линейной непрерывной системы   представляет собой свертку входного сигнала и  импульсной характеристики (ИХ) .

Для условий данной задачи

В соответствии с геометрическим смыслом операция свертки заключается в зеркальном отражении одной из участвующих в свертке функций, сдвиге её на значение t, перемножении операндов и интегрировании результата перемножения.

 

Интервал интегрирования при этом разбивается на следующие подинтервалы

1)  t<0,  при этом x(τ) и h(t-τ) не перекрываются и  выходной сигнал y(t)=0.

2)  ,     x(τ),   h(t-τ) перекрываются  и

3) 

4)  

5)    ,  x(τ) и h(t-τ) не перекрываются и  выходной сигнал  y(t)=0.

     Таким образом, выходной сигнал (результат свертки) системы

График  свертки

3. Вычислить  свертку , где

Решение. 

Общее выражение дискретной свертки   .  Для условий данной задачи 

График  y[n] для 

4. Вычислить дискретную свертку   для
   
   

 

Решение.

Реверсируем h[k] относительно начала координат

 

Разбиваем ось n на 5 интервалов.

1)  Для  n < -3  x[k]  и h[n-k]  не перекрываются, поэтому  y[n]=0.

2)  Для     при , в связи с этим

3)  Для     при  и

4)  Для     при  и имеем

5)  Для  x[k]  и h[n-k]  опять не перекрываются, поэтому  y[n]=0.
Окончательный результат по вычислению свертки

Задачи  для самостоятельного решения

1.  Определите значения свертки двух дискретных сигналов:
  и  .  Изобразите графики  x[n],  h[n]  и .
Ответ:  y = { 3,     8,    14,     8,     3}.

2.  Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

Ответ. 

3.  Вычислите свертку сигналов
 

и    .

Изобразите  графики  x[n],  h[n]  и .

Ответ.  

4.   Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

 

Ответ. 

5.  Вычислите свертку сигналов

      

Изобразите графики  x[n],  h[n]  и .

Ответ.  

6.  Вычислите свертку сигналов

 

Изобразите  график свертки.

Ответ. 

7.  Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

 

Ответ.  

8.  Вычислите дискретную свертку двух сигналов, изобразите график свертки

Ответ. 

9.  Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

.

Ответ.  

10.   Вычислите дискретную свертку сигнала 

и   сигнала  

 

Постройте график свертки.

Ответ.