Определение линейности и стационарности системы. Вычисление преобразования Фурье сигнала типа синусоидального импульса

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

РАССЧЕТНО ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Вариант составлен индивидуально.

Группа: АТ-73                                                                                 Преподаватель: Щетинин Ю.И.

Студент: Засыпкин Г.Е.

Новосибирск

2010

1.  Дискретный по времени сигнал имеет  вид

Найдите   x[4-2n].

Решение :

Преобразуем x[4-2n] и получим x[-2(n-2)].

Для n= 3, y[3]=x[-2]= 0.5;

Для n = 2, y[2]=x[0]=2;

Для n = 1, y[1]=x[2]=1;

Для n = 0 y[0]=x[4]=0.

Таким образом график y= x[4-2n] имеет вид:

Рис.1. График преобразованного сигнала.

2.  Определите, является ли линейной, стационарной (инвариантной во времени) и Система является линейной, если для неё справедлив принцип суперпозиции: Определите, является ли линейной, стационарной (инвариантной во времени) и устойчивой система- интегратор с уравнением ?

Решение:

Система является линейной, если для неё справедлив принцип суперпозиции:

Если , то

Проверим, линейна ли заданная система.

Пусть при   и при  .

Если , то

, значит, система линейна.

Система является стационарной (инвариантной во времени),  если временной сдвиг сигнала на входе вызывает такой же сдвиг сигнала на выходе системы.

Проверим, стационарна ли заданная система.

Если , то

,значит, система стационарна.

Система неустойчива система, т.к., если  , то выходной сигнал неограниченно возрастает с увеличением времени интегрирования  t.

Ответ.  Система   - линейная, инвариантная во времени, но неустойчивая.

3.  Разложите в ряд Фурье сигнал

Рис.2. Сигнал.

и постройте его амплитудный спектр.

Функция периодическая с периодом T = 8 и угловой частотой:

Запишем комплексный ряд Фурье:

Используя таблицу преобразований Фурье, получим тригонометрическую форму ряда Фурье:

Построим приближенный график амплитудного спектра  сигнала.

Рис. 3. Приближенный график амплитудного спектра  сигнала

Ответ. 

4.  Вычислите преобразование Фурье сигнала типа синусоидального импульса

Рис. 4. График сигнала .

Найдём его преобразование Фурье по выражению .

Получили преобразование Фурье вида .

Рис. 5. Амплитудный спектр сигнала .

Ответ. 

5.  Найдите вид сигнала во временной области, если преобразование Фурье сигнала имеет вид

.

Воспользывовшись Базисной таблицей преобразования Фурье

Получим:

Ответ.   

6.  Определите  ДВПФ сигнала  и изобразите (приближенно)  график  амплитудного спектра

Преобразование Фурье (комплексный спектр)

Амплитудный спектр   - действительная функция ω,  .

Графики для N=0.5:

Рис.6. Амплитудный спектр сигнала

Ответ:    .

7.  Определите значения свертки двух дискретных сигналов:
  и  .  Изобразите графики  x[n],  h[n]  и .

Используя свойство свертки ДПФ:

Вычислим свертку x[n] иh[n] :

y[0]=1*3=3

y[1]=1*2+2*3=8

y[2]=1*1+2*2+3*3=14

y[3]=2*1+3*2=8

y[4]=3*1=3

Рис.7. Графики сигналов и их свертки.

Ответ:  y = { 3,     8,    14,     8,     3}.

8.  Сигнал  x(t)  со спектральной плотностью    дискретизируется  с  интервалом отсчетов, равным  100 мкс. Возможно ли полное восстановление сигнала по его отсчетам?

Сигнал  x(t)  со спектральной плотностью    дискретизируется  с  интервалом отсчетов, равным  100 мкс.

Определим возможно ли полное восстановление сигнала по его отсчетам.

Согласно теореме отсчётов, если сигнал не имеет спектральных составляющих с частотами выше f_m, то он полностью определяется своими отсчетами в дискретные моменты времени через интервал отсчетов  .

Спектральная плотность заданного сигнала x(t) , т.е. сигнал не имеет спектральных составляющих с частотами выше .

Значит, данный сигнал полностью определяется отсчётами, взятыми в дискретные моменты времени через интервал отсчетов  .

По условию, дискретизация проводится с интервалом отсчётом , следовательно, сигнал не может быть точно восстановлен по отсчётам.

Ответ: Сигнал не может быть восстановлен по отсчетам.

9.  Сигнал x(t)  имеет синусоидальные компоненты с частотами  f₁ = 250,  f₂ = 450, 
f₃ = 1000 Гц. Этот сигнал преобразуется в дискретный с частотой отсчетов  F_S = 1,5 кГц. После дискретизации сигнал восстанавливается  с помощью ФНЧ с частотой среза 750 Гц. Определите частотные компоненты восстановленного сигнала.

Определим частотные компоненты восстановленного сигнала.

Согласно теореме отсчётов сигнал точно восстанавливается по своим отсчётам, если они взяты с частотой . При частоте отсчетов  F_s  максимально возможная частота синусоиды  .

В данной задаче . Значит, синусоидальные компоненты сигнала с частотами  f₁ = 250 и  f₂ = 450 Гц могут быть точно восстановлены по отсчётам, взятым с частотой F_S = 1,5 кГц.

Но компонента с частотой не может быть точно восстановлена и происходит свёртывание данной гармоники относительно частоты  и частота подменяется частотой 500 Гц.

Таким образом, получили, что в выходном сигнале будут присутствовать синусоидальные составляющие с частотами  250, 450, 500 Гц.

Ответ: в  выходном сигнале будут присутствовать синусоидальные составляющие с частотами  250,   450,  500 Гц.

10.  Определите передаточную функцию, полюса, АЧХ и ФЧХ  RLC – цепи, изображенной на рис.

                    и     

Возьмём преобразование Лапласа от обеих частей полученного уравнения.

Найдём передаточную функцию

Примем значения параметров схемы равными:

R = 1 Ом

L = 1 Гн

C = 1 Ф

Передаточная функция при данных значениях параметров примет вид:

Найдём полюса (корни знаменателя) передаточной функции

Решая данное уравнение, получим полюса передаточной функции:

Действительные части полюсов отрицательны, значит, система устойчива.

Найдём АЧХ и ФЧХ  RLC – цепи.

Частотная характеристика заданной цепи:

Выделим вещественную и мнимую части.

АЧХ:

ФЧХ:

Рис. 8. Графики АЧХ и ФЧХ  RLC – цепи.

Ответ.