Определение преобразования Фурье треугольного импульса и построение графика его амплитудного спектра

Задачи  3

1. Определить преобразование Фурье треугольного импульса и построить график его амплитудного спектра

                   

                              График   для  τ =4.

Решение.

График амплитудного спектра  сигнала при

2. Найти преобразование Фурье (спектр Фурье) сигнала

Решение.

Определим спектр Фурье прямоугольного импульса длительностью τ, симметричного относительного начала координат.

Связь между сигналами x(t) и s(t)     x(t) = 2s(t-3)

По свойству линейности и временного сдвига преобразования Фурье

.

3. Определить спектр Фурье сигнала     

Решение.

Преобразование Фурье правостороннего экспоненциального сигнала 

.   Поэтому  .

Согласно свойству  частотного сдвига

,   следовательно,  для 

преобразование Фурье 

 .   

  График  амплитудного  спектра сигнала

Комментарий:  пики на частотах  ω = ±10

соответствуют переносу (сдвигу) спектра

сигнала  в связи с его модуляцией

4. Найти преобразование Фурье косинусоидального импульса

,  где  

Решение

Преобразования Фурье 

,            .

По свойству умножения  преобразования Фурье произведению сигналов во временной области соответствует свертка их преобразований Фурье в частотной области

.

Поэтому 

5.  Определить спектр Фурье сигнала     .

Решение. 

Используем свойство дуальности преобразования Фурье.

Если  .

Прямоугольному импульсу x(t) с амплитудой А и длительностью , симметричному относительно начала координат, соответствует преобразование Фурье

.   

Следовательно, по свойству дуальности  сигналу 

 отвечает  преобразование Фурье вида

Графики для А=1  и  τ=2

6.  Преобразование Фурье сигнала имеет вид    .
Найти вид сигнала во временной области.
Решение.
Представим   как  .

Используя таблицу преобразований Фурье, определяем  оригиналы во временной области, соответствующие слагаемым  

, где u(t) – единичная ступенчатая функция.

Поэтому   .

1.  Сигнал  имеет вид

Найти

а)   X(0),                б)  ,                в)  

Решение.

а)   ,   поэтому   .

б)    .

в)      По  теореме Парсеваля 

8.   Найти преобразование Фурье сигнала
, где   - дельта – функция,  .

Решение.

При преобразовании этого выражения использовалась сумма геометрической прогрессии.

 9.   Вычислить свертку сигналов x(t)  и h(t) с использованием свойства свертки преобразования Фурье

- единичная ступенчатая функция.

Решение.

Свертке    во временной области соответствует произведение преобразований Фурье в частотной области, т.е.  . 

Преобразование Фурье односторонней экспоненты  ,  поэтому

.  Разложим  Y(jω) на простые дроби

.   Применим к  Y(jω) обратное преобразование Фурье, получим    .

10. Заданы графики  амплитудного   и фазового спектров сигнала. Определить вид сигнала во временной области.

Решение.

Предположим сигнал y(t)  с равномерным спектром следующего вида

 

Это сигнал  с единичной спектральной плотностью амплитуды в полосе частот  .

 По свойству дифференцирования преобразования Фурье  .

Следовательно,

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите преобразование Фурье и постройте (приближенно) график амплитудного спектра сигнала

.             

Ответ:         

2. Вычислите преобразование Фурье сигнала типа синусоидального импульса
   

Ответ. 

3. Найдите спектр Фурье  несимметричного треугольного импульса

                

Ответ:   

4. Используя свойство дуальность преобразования Фурье, определите спектр Фурье комплексного сигнала

Ответ:     

5. Определите преобразование Фурье сигнала непосредственным вычислением и с помощью свойств  линейности  и временного сдвига

Ответ:    

6. Постройте (приближенно) график фазового спектра одностороннего экспоненциального сигнала

Ответ:   для    А = 2,       

7.      Дано дифференциальное уравнение, связывающее вход x(t) и выход y(t) системы
                                .
Найдите преобразование Фурье этого уравнения. Определите отношение преобразований Фурье левой и правой части, т.е.   . Постройте приближенные графики модуля и фазы этого отношения от частоты. Дайте интерпретацию смысла функций на графиках.

Ответ.     .

8.       Найдите преобразование Фурье и постройте приближенный вид графика амплитудного спектра следующего сигнала

,  где  u(t)  - единичная ступенчатая функция.

Ответ:        .

9.  Найдите вид сигнала во временной области, если преобразование Фурье сигнала имеет вид 

.

Ответ.   

10.  Постройте амплитудный спектр сигнала

Ответ.