Определение линейной, стационарной (инвариантной во времени) и устойчивой системы. Определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Расчетно-графическая работа по курсу

«Теория и обработка сигналов»

5 - й семестр

Вариант –9,10.

Cтудент: Скориков С.                             Преподаватель:

Факультет: АВТ                                             Еленычев С.В.

Группа АО-31                                                 

Новосибирск

2005

Раздел 1.

     1.9.  Является ли линейной и инвариантной во времени  система с уравнением              ?
Ответ. 

Система – линейная, неинвариантная во времени.

Из первого пункта можно сделать вывод о том, что система линейная, а из второго – о то, что она неинвариантная во времени (нестацинарная).

1.10  .  Определите, является ли линейной, стационарной (инвариантной во времени) и устойчивой система- интегратор с уравнением ?

Ответ.  Система   - линейная, инвариантная во времени, но неустойчивая.

Пусть x2(t)=2x1(t), тогда y2(t)=2y1(t), так как 2 – это постоянная и выносится за знак интеграла. Значит система является линейной.

Найдем  значение интеграла при условии, что будет отставание переменной на τ₀:

Что доказывает то, что система инвариантная во времени.

Для устойчивой системы ограниченному входному сигналу должен соответствовать ограниченный выходной сигнал, что не обеспечивается, благодаря взятию интеграла от

- и до неизвестного t.

Раздел 2.

2.9. Определите амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала и постройте их графики

Ответ.               

Т=10

w₀=π/5

При четных k коэффициент обращается в 0, а при нечетных – в 2. Поэтому его можно упростить:

 

Так как функция четная, то второй коэффициент равен 0.

Ряд Фурье :

Амплитудный спектр:

Фазовый спектр является величиной постоянной и равен 0, так как  - коэффициент комплексного ряда Фурье принимает действительные значения для любого k.

2.10.  Определите амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала и постройте их графики

Ответ

Т=16, w₀=

k=-10:1:10;

x=cos(k*pi)-1;

y=x./(k*pi).^2;

f=cos(k*pi)./(k*pi);

z=(y+j*f)./2;

subplot(211);

plot(k,abs(z));

subplot(212);

plot(k,angle(z));

Амплитудный и фазовый спектры:

В нуле амплитуда равна:

b_k=0

Фаза в 0 равна 0, так как второй коэффициент равен 0.

Раздел 3.

3.9. Найдите вид сигнала во временной области, если преобразование Фурье сигнала имеет вид 

.

Ответ.   

Так как интеграл от произведения заданной функции и экспоненты, зависящей от w взять практически очень тяжело, то мы можем воспользоваться результатами вычислений прямого преобразования Фурье, известно, что

   соответствует ПФ= , поэтому x(t) для заданного ПФ

Будет иметь вид: , так как Т1=1, и в ПФ присутствует коэффициент, равный 2.

3.10.  Постройте амплитудный спектр сигнала

Ответ. 

Так как второй интеграл от нечетной функции на симметричном интервале, то он равен 0.

 w=-10:0.01:10;

x=cos(w*pi)./(1-4*w.^2);

plot(w,abs(4*x));

title('Amplitude')

В точках  амплитуда равна:

Раздел 4.

4.9.  Вычислите ДВПФ и ДПФ сигнала  .
Ответ.   ,      

4.10. Вычислите ДПФ для сигнала  .

Ответ.  .

Раздел5.

5.9.  Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

.

Ответ.  

Сформируем эти сигналы:

t=-10:0.01:2;

x=exp(3*t);

subplot(211);

plot(t,x);

title('x(t)');

T=-5:0.01:5;

h=rectpuls(T-0.5,5);

subplot(212);

plot(T,h);

title('h(t)');

xlabel('time');

В данном случае лучше взять x(t-τ). Получим выражение для свертки:

При «зеркальном отображении» сигнала x(t), относительно оси ординат, а так же его сдвиге на t=3, пересечение с сигналом h(t) будет равно нулю. Поэтому для всех t>3, y(t)=0. Для t, лежащим в интервале от -2 до 3, свертка будет иметь вид:

Если же t<= -2 то свертка будет иметь вид:

График свертки:

t1=-10:0.01:-2;

x=(1./3).*(exp(3*t1+6)-exp(3*t1-9));

t2=-2:0.01:3;

y=(1./3).*(1-exp(3*t2-9));

t3=3:0.01:10;

z=0;

plot(t1,x,t2,y,t3,z);

5.10. Вычислите дискретную свертку сигнала 

и   сигнала  

Постройте график свертки.

Ответ.  

Так как первый сигнал – бесконечной и равен 1 в каждой точке, то свертка будет «зависеть» от второго сигнала, который ограничен числом отсчетов=7.

Как видно из вышеуказанных формул свертка равна:

То есть свертка сигнала равна:

Если <0, то сумма является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Эту сумму можно представить в виде:

Построим график для =0,5: