Определение дискретно-временного преобразования Фурье

Определение

дискретно – временного  преобразования  Фурье

Преобразование  Фурье непрерывного сигнала  x(t)

ставит в соответствие  функции x(t) её спектральную плотность  X(jω). Для сигналов дискретного аргумента x(nΔt)=x[n],  Δt = 1/F_S  преобразование Фурье имеет некоторые особенности и свойства, обусловленные дискретизацией. Эту разновидность  называют дискретно – временным преобразованием Фурье (ДВПФ).

Для его получения представим интеграл в виде приближения  - интегральной суммы

.

        Для         .

Правая часть получившегося выражения  и  есть дискретно – временное  преобразование  Фурье (англ. Discrete Time Fourier Transform, DTFT)   дискретного сигнала x[n] ,  которое   определяется следующим образом

 – прямое ДВПФ, выражение анализа.

Оно имеет для дискретных сигналов  x[n] тот же смысл, что обычное прямое преобразование Фурье для непрерывных сигналов  x(t).   Нотация .

В некоторых источниках его обозначают как X(ω).   В данном курсе используется нотация .

ДВПФ позволяет найти частотный спектр  , называемый также спектром Фурье,  последовательности x[n].

В общем случае  X(e ^jω) – комплексная функция действительной переменной ω и может быть представлена в алгебраической  или в полярной (показательной) форме

                  .

В этих выражениях 

 - действительная часть, - мнимая часть ДВПФ сигнала x[n], - амплитудный спектр (функция модуля  X(e ^jω)),  - фазовый спектр (функция фазы X(e ^jω)) сигнала  x[n].

Особенность (свойство)  ДВПФ:  сигнал x[n] – дискретный по аргументу, спектр Фурье   - непрерывный по аргументу ω.

            Характерное отличие ДВПФ от непрерывного преобразования ПФ состоит  также в том, что оно является периодическим по аргументу ω  с периодом  2π,  в то   время как НВПФ  X(jω)- апериодическая функция ω.    Действительно,

   .

Ввиду периодичности представляет собой ряд Фурье по переменной ω.  Выражение для коэффициентов этого ряда

   .

и есть обратное ДВПФ (ОДВПФ, англ. IDTFT), которое называют также выражением синтеза сигнала  x[n] по его спектру.

Доказательство:

.

Интеграл

Поэтому

 Получено тождество, следовательно, формула обратного ДВПФ – верна.

В случае дискретизации сигнала x(t) с интервалом отсчетов   

выражения ДВПФ приобретают вид:

Во второй части курса после знакомства с Z – преобразованием будет строго показано, что ДВПФ может рассматриваться как Z – преобразование дискретного сигнала на мнимой оси комплексной плоскости z

.

Пример 1. Определим ДВПФ сигнала  

Представим этот  сигнал  в виде суммы (комбинации) двух сигналов

  и      ДВПФ  этих сигналов

,

Графики сигнала и его амплитудного и фазового спектра

% Script-файл n=-20:20; a=0.5; x=a.^abs(n); stem(n,x) xlabel('n') title('x[n]') figure w=-3*pi:0.1:3*pi; X=0.75./(1-cos(w)+0.25); plot(w, X) xlabel('\omega') ylabel('X(e^j\omega)') title('DTFT of 0,5^n')

Вид графика  подтверждает, что ДВПФ -  периодическое и повторяет себя с периодом  2π.

Пример 2. Найдем ДВПФ дискретного прямоугольного импульса

. 

 В преобразовании этого выражения использована формула суммы конечной геометрической прогрессии.   Если ,  то

Действительно,  здесь  .  

Ниже приведен график  амплитудного спектра  для N₁ = 2.

	Сопоставьте  этот результат с НВПФ для  (лекция  5)

Найдем ДВПФ комплексной гармоники, определяемой выражением

.

ДВПФ  этого сигнала

,   где  - дельта функция от ω,  k=1,2,3,…

Для доказательства возьмем  ОДВПФ от  X(e^jω)

Сравните этот результат с  для сигналов непрерывного времени.

Условие сходимости ДВПФ

            Бесконечный ряд    может сходиться или расходиться.  Условие сходимости ДВПФ

, т.е. требуется абсолютная сходимость x[n], или  .    Поскольку  , то абсолютная сходимость   выполняется для сигналов с конечной энергией.

Обратное  ДВПФ

Выражение     используется для определения  сигнала x[n] по его  спектру Фурье.

Пример.   Пусть  ,  определим x[n].
Запишем  

Непосредственное сравнение левой и правой части дает

.

Отсюда 

.

Использованный в примере метод называется методом разложения  в степенной ряд.

Кроме этого метода используется также метод разложения на простые дроби, который будет подробно рассматриваться во второй части курса.

Вычисление ДВПФ  в MatLAB

Для вычисления ДВПФ может использоваться приведенная ниже файл – функция, основанная на использовании встроенной в Matlab функции  fft().

function [X,w] = DTFT(x,M)

% Функция вычисляет значения DTFT от вектора x.

% Обращение

%             [X,w] = DTFT(x,0)

% здесь X - вектор значений DTFT,

% w - вектор угловых частот.

% Если желательно вычислить DTFT с M значениями частоты,

% используется обращение

%             [X,w] = DTFT(x,M)

% Этот вариант используется, когда размер вектора x 

% меньше  размера вектора частот w,

% при этом x дополняется нулевыми значениями

N = max(M,length(x));

% Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)))

% Вычисление  fft

X = fft(x,N);

% Вектор  частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi)

% Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

 X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

Пример.  Пусть  Определим ДВПФ этого сигнала и построим график амплитудного спектра.

Код Matlab

n=-20:20;

x=0.5.^abs(n);

[X,w]=DTFT(x,128);

subplot(121)

stem(n,x), grid

subplot(122),

plot(w, abs(X))

grid

Для вычисления  ДВПФ может также использоваться функция freqz()   Matlab. При этом функция X(e^jω) должна быть рациональной функцией вида

.

Функция freqz() имеет несколько форм синтаксиса.  В самой простой из них
[h, w] = freqz(num, den, n)    она возвращает  n комплексных значений X(e^jω) в диапазоне ω от 0  до π по значениям коэффициентов полинома числителя  num и полинома знаменателя den. По умолчанию n = 512.

Пример.  Пусть  . 

Код Matlab

num=[0 1.5];                                             

den=[1 -0.5 -1];

            [X  w1]=freqz(num, den, 128);

 plot(w1, abs(X)),  grid

Свойства  ДВПФ

ДВПФ имеет свойства, аналогичные свойствам НВПФ.

В таблице перечислены наиболее важные из этих свойств.

Свойство	Временная область (Time   domain)	Частотная  область (Frequence   domain)
Линейность Временной сдвиг 3.  Частотный сдвиг 4. Симметрия 5.  Реверсирование во времени Свертка Умножение	x[n-k]	- четная  функция -нечетная функция   ω

8. Дифференцирование 9.  Теорема Парсеваля

Рассмотрим доказательства наиболее важных из  этих свойств

1.  Докажем свойство временного сдвиг 
Пусть  ,  тогда 

В частности,  для     

  ,  отсюда    ,

т.е.,  сдвиг x[n] на k тактов во времени вызывает фазовый сдвиг   на

2.  Теорема  Парсеваля.   Энергия сигнала 
Согласно обратному  ДВПФ   .  Отсюда

, следовательно,

Энергия =

Равенство Парсеваля позволяет определить энергию сигнала в частотной области, если это упрощает вычисление. Иногда это так.

Свойство свертки ДВПФ

Свертке двух последовательностей во временной области отвечает произведение их дискретных преобразований Фурье в частотной области

.    Доказательство.  Положим  ,

.

Заменим  ,  при этом

.

Таким образом, свертке во временной области соответствует произведение спектров в частотной области        

Рассмотрим пример применения свойства свертки.

Пример. 

Пусть 

.

- рациональная функция (отношение полиномов) от .

            Разложим  y[n] на простые дроби.

Если  .  Следовательно,

.

Связь импульсной и частотной характеристик линейной дискретной системы

       Во временной области линейные дискретные во времени системы (ЛДС) описываются линейными разностными уравнениями вида

,

где   - входной сигнал,

         - выходной сигнал,

          - коэффициенты уравнения.

Возьмем ДВПФ от обеих частей уравнения, при этом по свойству временного сдвига

.

С учетов свойства линейности получим в частотной области

.

Отношение ДВПФ выхода и входа    есть частотная характеристика ЛДС                                .

При этом        

Заключение Для дискретных по аргументу сигналов их спектральные представления основаны на использовании дискретно -  временного преобразования Фурье (ДВПФ)                             - прямое ДВПФ,                                   - обратное (инверсное) ДВПФ. ДВПФ является непрерывной по аргументу ω  функцией и периодической с периодом  2π. Для сходимости ДВПФ необходимо выполнение условия абсолютной сходимости для последовательности              ДВПВ имеет свойства, аналогичные свойствам НВПФ: линейности, симметрии, временного сдвига, частотного сдвига, свертки, умножения и др. Web- сайт для демонстрации свойств ДВПФ http://www.jhu.edu/%7Esignals/dtftprops/indexDTFTprops.htm Основное уравнение анализа линейных дискретных по времени систем в частотной области