Непрерывная и дискретная свертки. Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

                           Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 5

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКИ

Группа: АТ-23                                                                                    Преподаватель:                  

Студенты: Рыбкина А.                                                                     Щетинин Ю.И.

                    Кудрина Е.

Новосибирск, 2004

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКИ

Цель работы:  Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки, приобретение практических навыков вычисления свертки  в среде Matlab.

1.

Свертка двух непрерывных по времени сигналов (непрерывная свертка) определяется выражением
               
Численное вычисление непрерывной свертки может быть аппроксимировано конечной суммой вида
                   ,

где   - интервал (шаг) дискретизации.

Файл-сценарий Matlab для приближенного вычисления непрерывной свертки сигнала прямоугольной формы и экспоненциального сигнала:

% Численное вычисление непрерывной свертки

%

T=0.1;                         % шаг дискретизации  

a=5;

i=0:50;

x1=exp(-a*i*T);          % сигнал x1

x2=rectpuls(i-10,20);   % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(i*T,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(i*T,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y),axis([0,4,0,0.4]),title('Свертка x1  и  x2'),

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

             Рис.1   Графики сигналов  x1=exp(-a*i*T) и x2=rectpuls(i-10,20) и их свертки,

                       полученной с помощью численного вычисления и функции conv.

Вывод:  Из полученных графиков видно, что свертка, вычисленная численно и полученная с помощью функции conv одинакова.

2.

Вычисление непрерывной сверткисигналов:

Файл-сценарий:

T=0.01;           % шаг дискретизации  

i=0:T:4;

t=0:T:2;

y=exp(0.5*t)-1;             % сигнал x1

x1=[y zeros(1,200)];

x2=exp(-2*i);                  % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(i,x1), title('x1')

subplot(412),  plot(i,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1,y),title('Свертка x1  и  x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), plot(k1,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

Рис.2    Графики сигналов  x1=exp(0.5*t)-1, 0≤t≤2  и  x2=exp(-2*i)

                   и их свертки.

Вывод: Получив свертку для сигналов x1 и x2 с помощью вычислений по соответствующей формуле, определили её также с помощью функции MatLab – conv и убедились, что результаты, полученные двумя способами, совпадают.

3.  

Функция sqgen(L,T) с двумя параметрами L  и T, которая генерирует прямоугольную последовательность импульсов (прямоугольную волну) длиной L отсчетов и периодом T отсчетов. Используется при этом функция square() Matlab.

function y=sqgen(L,T)

l=0:1:L-1;

f=1/T;

y1=square(2*pi*f*l);

y=y1;

4.

Создадим единичный импульс  delta1=[1]. Вычислим свертку delta1 и sqgen(50, 10). Построим с помощью stem() графики сигналов и результата свертки.

Файл-сценарий:

T=1;                         % шаг дискретизации  

i=0:1:49;

x1=1;                      % сигнал x1

x2=sqgen(50,10);   % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  stem(0,x1), title('x1')

subplot(412),  stem(i*T,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), stem(k1*T,y),title('Свертка x1  и  x2'),

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), stem(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

                        Рис.3  Сигналы x1=1 и  x2=sqgen(50,10) и их свертка.

5.

Создадим с помощью команды  delta2=[1    zeros(1,9)] другой импульс и вычислим свертку delta2 и sqgen(50, 10). Построим графики.

Файл-сценарий:

T=1;                            % шаг дискретизации  

i=0:1:49;

y=1;

x1=[y zeros(1,9)];          % сигнал x1

x2=sqgen(50,10);           % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  stem(x1), title('x1')

subplot(412),  stem(i*T,x2), title('x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), stem(k1*T,y),title('Свертка x1  и  x2'),

% вычисление свертки с помощью функции conv()

subplot(414), stem(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

        Рис.4  Графики сигналов x1=[y zeros(1,9)] и x2=sqgen(50,10) и их свертки. 

Вывод: Сравнивая рисунки 3 и 4, видим, что с увеличением длительности одного из сигналов длина свертки также увеличивается, так как равна n1+n2-1, где n1 и n2- длина первого и второго сигналов соответственно.

6.

а) Создадим плоский импульс с помощью команды  h1=[ones(1,2)]. Вычислим свертку h1 и  sqgen(50, 10). Построим графики сигналов и свертки.  б) Увеличим  длину импульса до 8, снова вычислим свертку и построим её график.

а)

Файл-сценарий:

T=1;                         % шаг дискретизации  

i=0:49;

x1=[ones(1,2)];          % сигнал x1

x2=sqgen(50,10);       % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(311),  stem(x1), title('x1')

subplot(312),  stem(i*T,x2), title('x2')

% вычисление свертки с помощью функции conv()

k1=1:n1+n2-1;

subplot(313), stem(k1*T,T*conv(x1,x2))

title('Вычисление с помощью conv')

        Рис.5  Графики сигналов x1=[ones(1,2)] и x2=sqgen(50,10) и их свертка.

б)

T=1;                                                  

i=0:49;                                              

x1= [ones(1,8)];                                

x2=sqgen(50,10);                              

n1=length(x1);                                  

n2=length(x2);                                  

figure(2);

subplot(311);

stem(x1);                                           

title('x1');

subplot(312);

stem(i*T,x2);                                    

title('x2');

subplot(313);

k1=1:n1+n2-1;                                  

stem(k1*T,T*conv(x1,x2));             

title('Свертка x1 и x2');

        Рис.6  Графики сигналов x1=[ones(1,8)] и x2=sqgen(50,10) и их свертка.

Вывод: Из рисунков 5 и 6 мы видим, что с увеличением длины сигнала x1 происходят существенные изменения свертки: чем больше единиц, тем сильнее искажается сигнал, так для 35 единиц получим следующий результат.

7.

Вычислим свертку сигналов

                                   

где      - дискретная единичная ступенчатая функция.

Построим графики сигналов и  их свертки.

 С помощью функции deconv()  восстановим сигнал   из свертки, построим график    результата.

Скрипт-файл:

n = input('Введите число отсчетов n = ');

u=[ones(1,n+5)];                                           

for k=1:1:n

   if k <= 5                                                     

        x1(k)=sinc(k);

        x2(k)=u(k);

    else

        x1(k)=sinc(k)*(u(k+5)-u(k-5));

        x2(k)=u(k)-u(k-5);

    end

end

y=conv(x1,x2);                                             

t1=0:length(x1)-1; t2=0:length(x2)-1; t3=0:length(y)-1;

subplot(3,1,1), stem(t1,x1); title('x1');

subplot(3,1,2),  stem(t2,x2); title('x2');

subplot(3,1,3), stem(t3,y); title('Свертка x1 и x2');                       

figure(2);

z=deconv(y,x2);                                           

stem(t1,z);                                                     

Результат:

Введите число отсчетов n = 15

      Рис.7   Графики сигналов  x1(k)=sinc(k)*(u(k+5)-u(k-5)) и x2(k)=u(k)-u(k-5)

                  и их свертка.

            Рис.8  График сигнала  x1(k)=sinc(k)*(u(k+5)-u(k-5)), восстановленного

                       из свертки с помощью функции deconv()  

Вывод: Из данного примера видно, что с помощью функции deconv()  можно восстановить из свертки исходный сигнал.

8.

Сгенерируем экспоненциальный дискретный сигнал длительностью 100 отсчетов и прямоугольный сигнал из 40 отсчетов. Выполним дискретную свертку этих сигналов (функция conv) и представим её график. Далее выполним свертку этих сигналов с помощью БПФ (круговая свертка). Для этого дополним каждый из сигналов до 256 отсчетов нулями, с помощью fft() получим ДПФ сигналов, перемножим преобразования Фурье и вычислим обратное (инверсное) ДПФ.  Построим график модуля и сравним с результатами, полученными функцией conv().

t=0:1:99;        % число отсчетов для экспоненциального сигнала

t1=0:39;          % число отсчетов для прямоугольного сигнала

t2=0:1:138;

t3=0:1:255;

y1=exp(-t);

subplot(4,1,1); stem(t,y1);

title('Экспоненциальный дискретный сигнал')

y2=rectpuls(t1,80);

subplot(4,1,2); stem(t1,y2);

title('Прямоугольный сигнал')

y3=conv(y1,y2);                        % дискретная свертка сигналов

subplot(4,1,3); stem(t2,abs(y3));

title('Дискретная свертка сигналов');

y4=[y1 zeros(1,156)];

y5=[y2 zeros(1,216)];

y4p=fft(y4); y5p=fft(y5);      % ДПФ сигналов

y6=y4p.*y5p;

y6p=ifft(y6);                          % Обратное ДПФ 

subplot(4,1,4); stem(t3,abs(y6p));

title('Круговая свертка');

         Рис.9 Графики сигналов y1=exp(t) и y2=rectpuls(t1,80) и их свертки, полученной

                                     с помощью функции conv() и ДПФ

Вывод: Из полученных результатов видно, что графики модулей дискретной свертки сигналов, полученной с помощью функции conv, и круговой свертки, полученной с помощью ДПФ, одинаковы, но вычисление свертки вторым способом является более эффективным за счет использования быстрых алгоритмов вычисления ДПФ.