Изучение Z-преобразования и дискретно-временного преобразования Фурье. Вариант 2

Министерство образования  РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра ССОД

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

Z - преобразование 

и  дискретно – временное  преобразование  Фурье

Новосибирск

2005

Цель работы:Изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

Прямое и обратное Z-преобразования.  

Задание1.       

-прямое преобразование Фурье

-обратное преобразование Фурье

Задание2.Z-преобразование сигналов x1[n] = δ[n], x2[n] = u[n], x3[n] = cosω, найденное аналитически.

(по формуле суммы геометрической прогрессии)

Z-преобразование сходится в области и расходится в области

Задание3.Z – преобразования сигналов   x1[n] = aⁿ cos ωn, x2[n] = n²e²ⁿ,

x3[n] = cos²n , вычисленных с помощью функции ztrans().

x1[n] = aⁿ cos ωn

>> syms X x a w n ;

>> x=a.^n.*(cos(w.*n));

>> X=ztrans(x);

X= (z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1) или    X=

x2[n] = n² e²

>> syms X  n ;

>> x=n.^2.*exp(2.*n);

>> X=ztrans(x);

X=z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3   или     X

x3[n] = cos² n

>> syms X  n ;

>> x=(cos(n))^2;

>> X=ztrans(x);

X=(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1) или

X=

Встроенная функция ztrans()пакета MatLab позволяет во многом ускорить процесс вычисления Z-преобразования. Полученные выражения соответствуют выражениям полученным аналитически:

Оригиналу x1[n] = aⁿ cos ωn в таблице  соответствует изображение

Z{x1[n]}=.

Оригиналу x1[n]= n² e²    соответствует изображение

Z{x1[n]}= .

Задание4.Вычисление сигналов ,во временной области (оригинал) по их Z – преобразованиям с использованием функции iztrans().

>> syms z x X

>> X=z*(z+1)/(z-1)^3;

>> x=iztrans(X)

x =n^2  или 

Действительно полученный результат соответствует табличному результату

>> syms z x X

>>  X=(z^2-0.2*z-0.8)/(z^2-0.3*z-0.1);

>> x=iztrans(X)

x =8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n  или

Задание5. Разложение функции рационального Z – преобразования на простые дроби с помощью функции residuez()и аналитическая проверка результата.

Заданная функция

Разложение на простые дроби с помощью встроенной функции MatLab residuez().

>> Num=[1 0 1];

>> Den=[1 -15 -1];

>> [R,P,K] = RESIDUEZ(Num,Den)

R = 1

       1

P =

   15.0664

   -0.0664             K = -1

 Учитывая, что R– вектор вычетов, P – вектор полюсов, K – вектор коэффициентов целой части разложения, получаем:

Вычислим обратное  Z-преобразование.

Задание 6.Решение линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью Z-преобразования.

Уравнение

Беря Z- преобразование от уравнения,  с учетом свойства временного сдвига  и свойства линейности получаем

 

Полюс   имеет порядок r=2.Разложим Y(z) на простые множители.

   Найдем

Решение в Z – области

Обратное Z-преобразование и решение уравнения.

Или

Посчитаем y[0], y[1], y[2]:

Y[0]=1

Y[1]=-2

Y[2]=3

Теперь подставим в исходное уравнение и получим:

Задание7. Вычисление ДВПФ сигнала  
       прямое ДВПФ сигнала

 обратное ДВПФ сигнала

ДВПФ  позволяет перейти от дискретной временной функции к непрерывной частотной, при этом частотная функция являеться периодической функцией,поэтому можно сказать, что ДВПФ это ряд Фурье с переменной w.

ДВПФ – это частный случай Z – преобразования (если на единичной окружности , то Z – преобразование представляет собой ДВПФ).

Задание8. Вычисление  ДВПФ сигналов  x[n] = e ^-0,5n,    

для значения  M = 64.

Построение графиков амплитудного и фазового спектров этих сигналов.

n=0:1:62;

x=exp(-0.5.*n);

[X,w]=DTFT(x,64);

n1=-31:1:32;

figure(1); F=8;

N1=64;

plot((n1*F)/N1,abs(X));

 figure(2);

 plot(angle(X),t);

Рис. 1 Сигнал x[n] = e ^-0,5n                                       Рис. 2 Сигнал

 

Рис. 3 Амплитудный спектр сигнала x[n] = e ^-0,5n           Рис. 4 Фазовый спектр сигнала x[n] = e ^-0,5n

       Рис. 5  Амплитудный и фазовый спектры сигнала 

Задание9.Получение частотной характеристики дискретной системы с уравнением        как отношение  .

Нахождение частотной характеристики инверсной системы    такой, что последовательное (каскадное) соединение этих систем имеет единичную частотную характеристику, т.е. .

Построение  АЧХ, т.е. , обеих систем с помощью функции freqz().

Наблюдение особенности работы системы.

По свойству временного сдвига

>> num1=[1 0];

>> den1=[1 -0.5];

>> freqz(num1,den1);

Рис. 4   АЧХ системы H1.

>> num2=[1 -0.5];

>> den2=[1 0];

>> freqz(num2,den2);

  Рис. 5    АЧХ системы H2.

b=[1];  a=[1 -0.5];  n=0:20;   

x=rectpuls(n,20);       

subplot(3,1,1); stem(n,x);                 

x1=filter(b, a, x);       

subplot (3,1,2); stem (n,x1);             

x2=filter(a,b,x1);

subplot (3,1,3); stem (n,x2); 

Рис. 6  Графики прямоугольного импульса и выходных сигналов с фильтра H1 и инверсного фильтра H2.

В результате видно, что, пропуская сигнал через инверсный фильтр, получаем исходный сигнал, то есть сигнал полностью восстанавливается.

Задание10.  Чтение звукового файла с помощью функции auread(),прослушивание этого файла с помощью функции sound(), добавление шума в звуковой сигнал.

Фильтрация сигнала y1 с помощью функции filter() с параметрами простого цифрового ФНЧ первого порядка из предыдущего пункта.

x1=auread('bird');

sound(x1);

[X,w]=DTFT(x1,0);

y1=x1+randn(length(x1), 1)*0.1;

sound(y1);

[Y,w]=DTFT(y1,0);

y2=filter(1, [1, -0.5], y1);

sound(y2);

[Y2,w]=DTFT(y2,0);

figure(1);

subplot(3,1,1)

X=fftshift(X);

plot(w,abs(X));

subplot(3,1,2)

Y=fftshift(Y);

plot(w,abs(Y));

subplot(3,1,3)

Y2=fftshift(Y2);

plot(w,abs(Y2));

      Рис.7  Графики амплитудных спектров исходного сигнала, зашумленного

                 сигнала и выходного сигнала с фильтра (H1)

Изменив один из коэффициентов фильтра, получим:

y2=filter(1, [1, 0.7], y1);

Рис.8  Графики амплитудных спектров исходного сигнала, зашумленного

                 сигнала и выходного сигнала с фильтра (H1)

При пропускании защумленного сигнала через фильт с параметрами y2=filter(1, [1, -0.5], y1) на выходе получили сигнал большой долей шума и нечетким звучанием.После изменения параметров фильтра y2=filter(1, [1, 0.7], y1) сигнал стал более четким на фоне шума.

В теории и проектировании дискретных систем широко используется Z – преобразование. Для дискретных систем оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. Для последовательности (дискретного сигнала) x[n], n≥0 Z – преобразование определяется следующим образом , здесь z – комплексная переменная, связанная с переменной  выражением , где T_d – интервал дискретизации. На единичной окружности  Z – преобразование представляет дискретное преобразование Фурье последовательности (дискретного сигнала) x[n].

Переход от Z – преобразования X(z) к последовательности x[n] во временной области выполняется с помощью обратного Z – преобразования . При этом для получения временных функций кроме контурного интегрирования применяется также разложение X(z) на простые дроби или разложение в степенной ряд