Изучение Z-преобразования и дискретно- временного преобразования Фурье. Вариант 7

Министерство Образования и Науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Факультет Автоматики и Вычислительной Техники

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

«Теория и обработка сигналов»

Лабораторная работа № 9

«Z - преобразование

и дискретно – временное преобразование Фурье»

Вариант 7

Группа: АТ-93                                                                             Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Студент: Кириллова М.А.

Новосибирск - 2012

Цель работы: изучение Z – преобразования и дискретно – временного преобразования Фурье (ДВПФ), их вычисления в среде Matlab.

1.  Определение Z – преобразований и областей сходимости заданных сигналов аналитически.

Прямое Z – преобразование сигнала определяется по выражению:

Где - комплексная переменная (частота),

 – значения отсчёты) сигнала.

Z-преобразование это степенной ряд от переменной  или, который ставит в соответствие последовательности  функцию  комплексной переменной .

Так как две различные последовательности  и  могут иметь одно и то же Z- преобразование, но различные области сходимости, то во избежание появления ошибок следует рассматривать Z - преобразование вместе с его областью сходимости.

Определим Z-преобразования и области сходимости для следующих сигналов:

a) 

Z-преобразование единичного импульса :

Областью сходимости является вся  -плоскость.

b) 

Сумма геометрической прогрессии равна

если . Следовательно, , , .

Значит область сходимости – внешность окружности единичного радиуса .

c) 

Полюса:   

Область сходимости – внешность круга с радиусом , где  - полюс  с максимальным модулем. Следовательно, в данном случае область сходимости .

d) 

Используя теорему дифференцирования в  – области (умножения на  во временной области)

и то, что , получим:

Функция имеет полюс . Следовательно, это Z– преобразование сходится во всех точках за пределами круга с радиусом 1, в пределах круга она расходиться.

2.  Определение Z – преобразований заданных сигналов с помощью функции ztrans().

В Matlab для определения Z-преобразований сигналов используется функция ztrans().

Воспользуемся данной функцией для нахождения Z-преобразований следующих сигналов.

a) 

Для нахождения Z-преобразования воспользуемся следующей последовательностью команд:

syms a w n

x=((a^n)*cos(w*n));

X=ztrans(x)

X = (z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

Запишем данное выражение в обычной математической форме (5).

b) 

Для нахождения Z-преобразования воспользуемся следующей последовательностью команд.

syms n

x=(n^2)*exp(2*n);

X=ztrans(x)

X = z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3.

Запишем данное выражение в обычной математической форме (6).

c) 

Для нахождения Z-преобразования воспользуемся следующей последовательностью команд:

syms n

x=((cos(n))^2);

X=ztrans(x)

X= z*(z^2-3*z*cos(1)^2+z+cos(1)^2)/(z^3-4*z^2*cos(1)^2+z^2+ +4*z*cos(1)^2-z-1)

Запишем данное выражение в обычной математической форме:

3.  Определение сигналов по их Z – преобразованиям с помощью функции iztrans().

В Matlab для определения исходных сигналов по их Z – преобразованиям используется функция iztrans(). Воспользуемся данной функцией для нахождения оригиналов следующих сигналов:

a) 

Для нахождения исходного сигнала по его Z-преобразованию воспользуемся следующей последовательностью команд:

syms z;

X=z*(z+1)/(z-1)^3;

x=iztrans(X)

x =n^2.

Запишем данное выражение в обычной математической форме:

b) 

Для нахождения исходного сигнала по его Z-преобразованию воспользуемся следующей последовательностью команд:

syms z

X=((z^2-0.2*z-0.8)/(z^2-0.3*z-0.1));

x=iztrans(X)

x = 8*charfcn[0](n)-13/7*(1/2)^n-36/7*(-1/5)^n

Запишем данное выражение в обычной математической форме:

Функции ztrans()и iztrans() нужны для нахождения символьного прямого и обратного z-преобразования соответственно. Для выполнения этих функций и получения результата необходимо предварительно объявить все символьные переменные, затем передать нужное выражение в качестве аргумента, функции выведут результат в символьном виде. Так как вычислительные возможности этих функций ограничены, они чаще всего используются как обучающие вычислению прямого и обратного z-преобразования функции в среде Matlab.

4.  Аналитическое определение обратного Z – преобразования, используя разложение рационального Z – преобразования на простые дроби.

Для определения обратного Z – преобразования разложим функцию рационального

Z – преобразования

на простые дроби с помощью функции residuez().

Для этого используем следующую последовательность команд:

num=[0  1   1   1 ];

den=[1   -3.4   2.65   -0.25];

[r, p, k]=residuez(num,den)

Получим

r =                 p =

    1.3235         2.2909

   -2.6087         1.0000

    5.2852         0.1091

k =    -4

На основе полученных значений запишем разложение исходного выражения на простые дроби.

Используя полученное разложение, найдём аналитически обратное Z - преобразование.

Так как   ,      то  ,

 ,    .

Так как , то  .

Таким образом, получили обратное Z – преобразование (*).

Для проверки полученного результата воспользуемся функцией iztrans().

syms z;

X= -4+1.32/(1-2.29*z^(-1))-2.6/(1-z^(-1))+5.28/(1-0.11*z^(-1));

iztrans(X)

В результате получим

ans = -4*charfcn[0](n)+33/25*(229/100)^n-13/5+132/25*(11/100)^n

Переписав данное выражение, получим функцию  в виде :

Решение (*), найденное аналитически совпадает с точностью до погрешности вычислений с последним выражением, определённым с помощью Matlab.

5.  Решение линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью Z– преобразования.

С помощью Z-преобразования решим линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами:

Беря Z- преобразование от этого уравнения, пользуясь свойствами линейности и временного сдвига, получим.

Преобразовав полученное выражение, учитывая начальные условия и подставляя выражение Z – преобразования входного сигнала  , получим линейное алгебраическое уравнение:, решив которое получим: