Изучение Z- преобразования и дискретно-временного преобразования Фурье, их вычисления в среде Matlab

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  ССОД

Теория  и  обработка  сигналов

Лабораторная  работа  №8

«Z - преобразование 

и  дискретно – временное  преобразование  Фурье»

Факультет: АВТ                                                                                            

Группа: AT - 33                                                                          Преподаватель:

Студентка: Седнев В.С.                                                             доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск  2006

Цель работы:Изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

1. Нахождение аналитически и объяснение выражений прямого и обратного Z –   преобразования сигналов.
    а)  x[n] = δ[n],

    б)  x[n] = u[n],
    в)  x[n] = cos ωn.

Прямое Z–преобразование:

z – комплексная переменная, которая имеет действительную и мнимую часть

Обратное Z-преобразование:

а)x[n] = δ[n]

б)  x[n] = u[n]

в)  x[n] = cos(ω×n)

2. Определение Z – преобразования сигналов (последовательностей) в замкнутой               форме с помощью функции   ztrans()  Matlab.

    а)  x[n] = aⁿ cos ωn,
    б)  x[n] = n² e²ⁿ,

    в)  x[n] = cos² n.

syms w n a

x=a^n.*cos(w*n)

y=(n^2).*exp(2*n)

z=cos(n)^2

f1=ztrans(x)                % выполнение Z-преобразований с помощью функции ztrans

f2=ztrans(y)

f3=ztrans(z)

f1, f2, f3

Результаты:

f1 = (z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

f2 = z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3

f3 = (z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1)

3. Определение сигнала во временной области по его Z – преобразованию с помощью функцию  iztrans()  Matlab.
    а)  ,

    б)  .

syms z

x=(z*(z+1))/(z-1)^3

y=(z^2-(0.2*z)-0.8)/(z^2-(0.3*z)-0.1)

f1=iztrans(x)           % нахождение сигналов во временной области

f2=iztrans(y)           % (нахождение оригиналов) с помощью функции iztrans

f1, f2

Результаты:

f1 = n^2    Т.е.

f2 = 8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n

charfcn[0](n) в данном случае мы рассматриваем как d-функцию.

Т.е.

4. С помощью функции residuez() разложите функцию рационального
    Z – преобразования    на простые дроби. Используя

    это разложение, найдите аналитически обратное Z – преобразование.

Z- преобразование имеет вид      

B=[1 0 1]

A=[1 -0,25]

[R,P,K] = RESIDUEZ(B,A)

Результат:

-1

5. Решите с помощью Z– преобразования линейное разностное уравнение с

    постоянными коэффициентами

Для решения данного уравнения необходимо воспользоваться свойствами линейности и временного сдвига.

Свойство линейности

Свойство временного сдвига

Уравнение           

Беря Z- преобразование от уравнения,  с учетом свойства временного сдвига получаем          .  

Отсюда    .

Решение в Z – области

Обратное Z-преобразование

.

Поэтому решение уравнения

.

6. Запишите и прокомментируйте выражения прямого и обратного ДВПФ. Как

    связаны ДВПФ и Z – преобразование? Аналитически вычислите ДВПФ сигнала
   

Прямое ДВПФ:

Обратное ДВПФ:

7. Найдите с помощью программы (DTFT.m) ДВПФ сигналов
    а)  x[n] = e ^-0,5n,
    б) 

    для значения  M = 64.

M=64

n=1:9

x(n)=exp(-0.5*n)   %исходный сигнал

y(n)=1

[X,w] = DTFT(x,M)

[Y,w] = DTFT(y,M)

figure(1)                     %

subplot(211)                  % Построение амплитудного и фазового спектров

plot(w,abs(X))                % экспоненциального сигнала

title('Amplitude spectrum')   %

subplot(212)                  %

plot(w,angle(X))              %

title('Phase spectrum')       %

figure(2)                     %

subplot(211)                  % Построение амплитудного и фазового спектров

plot(w,abs(Y))                % второго сигнала

title('Amplitude spectrum')   %

subplot(212)                  %

plot(w,angle(Y))              %

title('Phase spectrum')       %

Рис. 1. Амплитудный и фазовый спектры сигнала  x[n] = e ^-0,5n.

Рис. 2.  Амплитудный и фазовый спектры сигнала

8. Получить частотную характеристику дискретной системы с уравнением   как отношение  . Найти частотную характеристику инверсной системы  . Построить  АЧХ, обеих систем с помощью функции freqz(). Пронаблюдать особенности работы системы. Построить в одном графическом окне графики прямоугольного импульса и выходных сигналов каждого фильтра. Объяснить результат:

n=20;             % интервал частот для построения АЧХ

b=[1];            % числитель частотных характеристик (исходной и инверсной)

a=[1 -0.5];       % знаменатель частотных характеристик (исходной и инверсной)

figure(1);

freqz(b,a,n)      % расчет и построение АЧХ исходной системы

figure(2);

freqz(a,b,n)      % расчет и построение АЧХ инверсной системы