Изучение методов анализа линейных дискретных стационарных систем. Вариант 7

Министерство Образования и Науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Факультет Автоматики и Вычислительной Техники

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

«Теория и обработка сигналов»

Лабораторная работа № 10

«Линейные дискретные системы»

Вариант 7

Группа: АТ-93                                                                            Преподаватель:

Студенты:  Кириллова М.                                                         доц. Щетинин Ю.И.

Ахмедов А.

Новосибирск - 2012

Цель работы:изучение методов анализа линейных дискретных стационарных (инвариантных во времени) систем и приобретение практических навыков их анализа в среде Matlab.

1.  Дискретизации аналогового фильтра.

Процедура дискретизации заключается в аппроксимации линейного дифференциального уравнения фильтра разностным уравнением с помощью замены производных конечными разностями и последующих преобразований выражения к виду линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами.  При этом интервал между отсчетами сигналов (интервал дискретизации) выбирается на основе теоремы отсчетов. Частота отсчетов должна быть не менее, чем в 2 раза выше верхней граничной частоты спектра обрабатываемого сигнала.

В результате дискретизации получим линейное разностное уравнение и передаточную функцию дискретной системы (фильтра).

Исходные данные: R₁=1 кОм, R₂=2 кОм, C₁=0,5 мкФ

Рис.1 Схема активного фильтра верхних частот

Рис.2 АЧХ аналогового фильтра

Данный фильтр является ФВЧ, т.е. пропускает высокие частоты лучше, чем низкие. Частота среза – частота, при которой АЧХ снижается до уровня  (что соответствует 3 дБ) от максимального значения, f_c  равна 307 Гц, при выбранных значениях R и C.

Верхняя граничная частота дискретного (цифрового) фильтра равна половине частоты отсчетов (дискретизации)  F_s.  Выберем для данного примера значение  F_s =10 ⁵ Гц, что соответствует интервалу (периоду) отсчетов     

В предположении идеального операционного усилителя передаточная функция фильтра имеет вид:

, и

Перейдем к записи уравнения во временной области, то есть запишем дифференциальное уравнение, связывающее выходное и входное напряжения фильтра:

                                                                                                                (1)

Произведем дискретизацию аналогового фильтра с интервалом отсчетов Δt(величина шага приращения времени, интервал дискретизации). Для этого заменим в выражении (1) производную конечной разностью вида:

                                           (2)

Положим  и , и аналогично . 

Тогда выражение (2) примет вид:

.                                                         (3)

Обозначим . При этом разностное уравнение можно представить в виде

                                                            (4)

Для выбранных числовых значений  значения коэффициентов равны ,   и уравнение (4) перепишем в форме:

                                                             (5)

Возьмем  Z- преобразование от левой и правой части уравнения (5). С учетом теоремы сдвига получим:

.                                                                (6)

Запишем передаточную функцию дискретного фильтра, как отношение Z - преобразований выходного и входного сигналов:

.                                                                                   (7)

Нахождение частотной характеристики дискретной системы.

Частотная характеристика дискретной системы представляет собой передаточную функцию при , то есть 

.

f = 0:0.01:3000;

%амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра

H1 = 2*j*2*pi*f./(j*2*pi*f+2000);

%период дискретизации

T=0.00001;

% амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра

H2 = (2*exp(j*2*pi*f*T)-2)./(exp(j*2*pi*f*T)-0.99);

figure(1)

plot(f,abs(H1),'r',f,abs(H2),'b')

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

xlabel('f, Гц')

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12);

legend('АЧХ аналогового фильтра','АЧХ дискретного фильтра')

grid

Рис.3. АЧХ аналогового и дискретного фильтров.

АЧХ аналогового и дискретного фильтров соответствуют друг другу, но имеют допустимые расхождения. Следовательно, дискретизация фильтра выполнена верно.

2.  Разложение передаточной функции на простые дроби с помощью функции residues(). Получение импульсной характеристики системы.

Воспользуемся следующей последовательностью команд для определения полюсов, вычетов и коэффициентов целой части:

%Вектор коэффициентов числителя:

num=[2 -2];

%Вектор коэффициентов знаменателя:

den=[1 0.98];

 [R,P,K]=residuez(num, den)

R =4.0408

P =-0.9800

K =-2.0408

Общий вид результата разложения:

=

В этой форме представления передаточная функция описывается:

ü  вектором – столбцом r вычетов передаточной функции

ü  вектором – столбцом p полюсов передаточной функции

ü  вектором – строкой k коэффициентов целой части дробно – рациональной функции. 

Тогда получим:

                                                         (8)

Учитывая что передаточная функция связана с импульсной характеристикой (импульсную характеристику системы - обратное Z – преобразование от передаточной функции), , получим

Построим график импульсной характеристики:

Tn=1:1:300;

u_step = 4.0408*power(-0.98,Tn);

u_st = [(4.0408+2.0408) u_step];

Tn = [0 Tn];

stem(Tn,u_st);

Характеристика системы стремится к константе (нулю), значит система устойчива и для ограниченного входного сигнала получим ограниченный выходной сигнал.

Рис. 4. График аналитически определённой импульсной характеристики.

3.  Нахождение нулей и полюсов дискретной системы. Построение диаграммы нулей и полюсов системы с помощью  функции zplane.

С помощью следующей программы определим нули и полюса системы и построим диаграмму полюсов и нулей:

%Вектор коэффициентов числителя:

num=[2 -2];

%Вектор коэффициентов знаменателя:

den=[1 -0.98];

nulls = roots(num);

zeros = roots(den);

zplane(num,den)

%--------------------------------------------------------------------------

В результате: nulls =1,

zeros =0.9800

Рис.5 Диаграмма нулей и полюсов системы.

Для отображения нолей и полюсов функции передачи фильтра на комплексной плоскости используется функция zplane(). Поскольку при переходе от  преобразования Лапласа к Z – преобразованию левая полуплоскость отображается во внутреннюю часть окружности единичного радиуса, а мнимая ось – в единичную окружность (которая показывается функцией zplane()), то для устойчивости дискретной системы N и D, чтобы полюса её ПФ располагались внутри этой окружности.