Информатика и выч. техника \ Цифровая обработка сигналов

Синтез фильтров с несимметричными частотными характеристиками методом отражения координат, страница 2

, (1.7.19)

где для трёхэлементного контура

. (1.7. 20)

Эти рассуждения справедливы и для многозвенных фильтров, т. е. полиномов Чебышева высших порядков, характеристики которых уплотняются в сторону полосы режекции (рис. 1.7.3).

Рис. 1.7.3. Графики модифицированных полиномов Чебышева

В многозвенных фильтрах структура выражения для опорной частоты должна быть подобна (1.7.20), но надо учесть и ширину полос пропускания и режекции. Поэтому множитель принимает вид

, (1.7.21)

где перекрёстный частотный множитель

. (1.7.22)

Модифицированный аргумент полиномов

, (1.7.23)

где частотный множитель на опорной частоте – значение аргумента, аналогичное на рис. 1.7.2:

. (1.7.24)

Модифицированный полином Чебышева в полосе пропускания

. (1.7.25)

Этот полином Чебышева достигает нулей при углах . Для нечётных полиномов центральному нулю отвечает угол 90⁰. Угол, соответствующий значению , или (что то же) опорной частоте, равен

. (1.7.26)

Соответственно в полосе режекции

, (1.7.27)

где

. (1.7.28)

Назовём углы , углами асимметрии. Обобщая, можно записать окончательно для нижней полосы ФНХ (полоса пропускания – ПП для квази - ФНЧ или полоса режекции – ПЗ для квази - ФВЧ – индекс «L»)

, (1.7.29)

где

; (1.7.30)

. (1.7.31)

Здесь индекс «Н» обозначает верхнюю полосу – ПП для квази-ФВЧ или ПЗ для квази-ФНЧ.

Частотные переменные

; (1.7.32)

. (1.7.33)

Модули берутся для того, чтобы по обе стороны от частоты частотные переменные были положительными.

Текущее значение частотной переменной

. (1.7.34)

Угол асимметрии

. (1.7.35)

Обозначения частот даны на рис. 1.7.4.

а б

Рис.1.7.4. Обозначение частот ФНХ: а–нижняя полоса; б–верхняя полоса

и – среднегеометрические частоты; и – среднеарифметические частоты

Для верхней полосы (ПП для квази - ФВЧ или ПЗ для квази - ФНЧ)

, (1.7.36)

где

. (1.7.37)

У обычного двухэлементного контура (пропускающего и режекторного) высокочастотный скат менее крутой по сравнению с низкочастотным. Отношение верхней полуполосы () к нижней полуполосе () всегда больше единицы:

. (1.7.38)

При этом верхняя полоса оказывается вытянутой в сторону верхних частот. Поэтому взаимную нормированную частотную переменную умножаем на коэффициент (1.7.38):

; (1.7.39)

; (1.7.40)

; (1.7.41)

Значение всегда отрицательно.

Угол асимметрии

. (1.7.42)

1.7.2. Геометрический образ фильтра

Переходу от прототипного чебышевского ППФ к ФНХ можно дать простую геометрическую интерпретацию.

В симметричном чебышевском фильтре, как известно [25, 26], критические точки – нули функции фильтрации для полосно-пропускающего фильтра (ППФ) и полюсы для полосно-заграждающего (режекторного) фильтра ПЗФ расположены на характеристическом эллипсе в плоскости нормированной комплексной частоты . Критические точки разнесены на угол