Эквивалентные преобразования нелинейных элементов. Принцип действия самоорганизующейся системы. Самонастраивающиеся системы со стабилизацией частотных характеристик, страница 5

 - модифицированный годограф Попова

 - модифицированная вещественная часть

 - модифицированная мнимая часть

Отличие модифицированной АФЧХ линейной части от модифицированной АФЧХ заключается в масштабировании мнимой части в  раз.

 - уравнение прямой

Строим в плоскости  прямую Попова.

Модифицированный годограф должен лежать справа от прямой:

Устойчивая система	Неустойчивая система

Если такую прямую невозможно подобрать, то критерий Попова не выполняется. Если прямую можно подобрать, то критерий выполняется и система является абсолютно устойчивой при любых нелинейностях, лежащих внутри сектора .

Невыполнение критерия еще не означает, что равновесие неустойчиво, так как критерий только достаточный, а не необходимый.

Если происходит касание прямой Попова модифицированного годографа, то система устойчива.

11.2. Аналог критерия Найквиста для дискретных САУ

В теории дискретных систем разработаны критерии устойчивости, которые являются аналогами критериев устойчивости непрерывных систем. Частотная характеристика дискретных систем получается из ее передаточной функции  путем подстановки

Формулировка: Чтобы замкнутая дискретная система, непрерывная часть которой является устойчивой, была тоже устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики разомкнутой системы  при изменении частоты от 0 до  не охватывал точку .

Удаление характеристики от точки  характеризует запас устойчивости системы, как и для непрерывных систем.

12.1. Алгоритм анализа устойчивости нелинейных систем на основе критерия Попова

Формулировка:  для того чтобы положение павновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью и однозначной нелинейностью было устойчиво необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1.  Действительная часть функции Попова должна быть больше нуля

2.  Нелинейная характеристика должна удовлетворять условию  

1. Преобразование структурной схемы нелинейной САУ к типовому виду (типовой структурной схеме) по соответствующим правилам.

2. Строим график функции   и на нем проводим линию  таким образом, чтобы  было минимально и при этом исходная нелинейность лежала в секторе

3.  Строим модифицированный годограф Попова по выражению  (изменяется от 0 до )

4.  В плоскости  находим точку  и пытаемся провести через нее прямую так, чтобы  полностью лежала справа от прямой.

Если такую прямую невозможно подобрать, то критерий Попова не выполняется. Если прямую можно подобрать, то критерий выполняется и система является абсолютно устойчивой при любых нелинейностях, лежащих внутри сектора .

Невыполнение критерия еще не означает, что равновесие неустойчиво, так как критерий только достаточный, а не необходимый.

Если происходит касание прямой Попова модифицированного годографа, то система устойчива.

12.2. Аналог критерия Михайлова для дискретных САУ

В теории дискретных систем разработаны критерии устойчивости, которые являются аналогами критериев устойчивости непрерывных систем. Частотная характеристика дискретных систем получается из ее передаточной функции  путем подстановки

Критерий основан на рассмотрении характеристического полинома:

По выражению можно построить кривую Михайлова.

Формулировка: Замкнутая дискретная система будет устойчива при возрастании частоты от 0 до , если кривая  обходит последовательно в положительном направлении квадрантов, где  - степень характеристического полинома.

По построенному рисунку можно вывести необходимые условия устойчивости дискретных систем:

Для четных

Для нечетных

13.2. Виды переходных процессов в импульсных системах

Вид переходного процесса зависит от расположения корней характеристического полинома

Комплексно сопряженным корням и вещественным отрицательным корням соответствуют колебательные переходные процессы.

Вещественным положительным корням соответствуют монотонные переходные процессы.

Если , то переходные процессы затухающие, если , то расходящиеся.

14.2. Устойчивость дискретных САУ

Как и для непрерывных систем необходимым условием является устойчивость, оно означает, что переходный процесс с течением временит должен затухать.

Если считать, что выходная координата

 - характеристический полином дискретной САУ

Для выполнения условия устойчивости дискретной САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома замкнутой дискретной системы были по модулю меньше единицы .

Круг единичного радиуса аналог левой полуплоскости для непрерывных систем.

Так как не всегда удобно решать уравнения высокой степени, то удобнее было бы использовать критерии устойчивости.

Так как для устойчивости непрерывных систем областью устойчивости является левая полуплоскость, а не единичный круг, то применять критерий Найквиста, Михайлова и т.д. к уравнению неправомерно.

Чтобы иметь такую возможность в характеристическом уравнении переходят к новой переменной , которая связана с переменной с помощью билинейного преобразования , которое позволяет переходит от области круга к левой полуплоскости.

Доказано, что корни этого уравнения будут лежать в левой полуплоскости, если корни уравнения лежат в круге единичного радиуса.

Билинейное преобразование отображает круг единичного радиуса в левую полуплоскость параметра , таким образом к новому уравнению теперь можно применять известные критерии устойчивости для непрерывных систем.

В теории дискретных систем разработаны критерии устойчивости, которые являются аналогами критериев устойчивости непрерывных систем. Частотная характеристика дискретных систем получается из ее передаточной функции  путем подстановки

Аналог критерия Михайлова:

Замкнутая дискретная система будет устойчива при возрастании частоты от 0 до , если кривая  обходит последовательно в положительном направлении квадрантов, где  - степень характеристического полинома.

Аналог критерия Найквиста:

Чтобы замкнутая дискретная система, непрерывная часть которой является устойчивой, была тоже устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики разомкнутой системы  при изменении частоты от 0 до  не охватывал точку .