Типовые звенья. Комбинации (последовательного или параллельного соединения) типовых звеньев

Лекция 5

(4 часа)

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Любая САР может быть представлена в виде комбинации (последовательного или параллельного соединения) типовых звеньев. К числу типовых звеньев, из которых состоят линейные САР, относятся следующие звенья с ПФ:

1. Усилительное звено 

2. Интегрирующее звено 

3. Дифференцирующее звено 

4. Апериодическое звено 

5. Форсирующее звено 1-го порядка 

6. Колебательное звено  , 

7. Форсирующее звено 2-го порядка 

8. Звено чистого запаздывания 

Усилительное звено (усилитель)

        – коэффициент передачи

Дифференциальное уравнение

          .

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Частотная характеристика

.

АЧХ

.

ФЧХ и ЛФЧХ

.

ЛАЧХ

.

Область 1 – при

Область 2 – при

Область 3 – при

Интегрирующее звено (интегратор)

 – коэффициент передачи;   – постоянная времени.

Дифференциальное уравнение

          .

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Применительно к нашей специальности для интегратора чаще используется понятие постоянной времени .

При наличии на входе интегратора постоянного сигнала, отличного от нуля, сигнал на его выходе изменяется по линейному закону, при равенстве сигнала на входе нулю сигнал на выходе интегратора стабилизируется и в общем случае отличен от нуля.

Частотная характеристика          .

АЧХ  .

ФЧХ  .

Таким образом, в интеграторе выходной сигнал отстает от входного по фазе на p/2, независимо от частоты w.

ЛАЧХ         .

ЛФЧХ         .

ЛАЧХ при какой-то определенной частоте w₁ равна L(w₁)= –20 lgw₁T. При увеличении частоты в 10 раз (на одну декаду)  L(10w₁) = –20 lg 10w₁T =      –20 lgw₁T – 20. Поскольку L(w₁) – L(10w₁) = 20 дБ, следовательно, ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек.

Построение ЛАЧХ производим по характерным точкам (см. рисунок):

·  при w=1 L(w)= –20 lg T = 20 lg 1/T = 20 lg k.

·  при w=1/TL(w)=0.

Наклон ЛАЧХ –20 дБ/дек соответствует наклону АЧХ –1, поэтому его часто так и обозначают.

Как уже отмечалось, ЛФЧХ не зависит от частоты и представляет собой прямую на уровне –p/2.

При , как следует из АЧХ и ЛАЧХ, коэффициент передачи интегратора по амплитуде стремится к бесконечности; и напротив, при увеличении частоты коэффициент передачи по амплитуде уменьшается. Это означает, что интегратор не пропускает на выход высокие частоты, являясь фильтром низких частот.

Дифференцирующее звено (дифференциатор)

 – постоянная времени

Дифференциальное уравнение

          .

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Частотная характеристика      .

АЧХ  .

ФЧХ  .

Таким образом, в дифференциаторе выходной сигнал опережает входной по фазе на p/2, независимо от частоты w.

ЛАЧХ         .

ЛФЧХ         .

Аналогично тому, как это было сделано для интегратора, можно показать, что ЛАЧХ дифференцирующего звена представляет собой прямую с наклоном +20 дБ/дек (+1), которая будет пересекать ось частот при  (см. рисунок).

Из ЛАЧХ видно, что с ростом w увеличивается коэффициент передачи дифференциатора по амплитуде. Таким образом, данное звено является помехонеустойчивым в том смысле, что оно подчеркивает высокочастотные помехи (наиболее частые на практике): даже при малой входной амплитуде высокочастотного сигнала на выходе можно наблюдать значительную высокочастотную составляющую.

Примечание. ПФ дифференцирующего звена является обратной по отношению к передаточной функции интегрирующего звена. Кроме того (точнее, следовательно), ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференциатора являются зеркальными отображениями соответствующих характеристик интегратора относительно оси частот. На основании этого можно сделать более широкий вывод: логарифмические частотные характеристики любого звена с ПФ  являются обратными соответствующим характеристикам звена с ПФ , то есть, являются их зеркальными отображениями относительно оси частот w.

Апериодическое звено (инерционное)

 – коэффициент передачи;   – постоянная времени

Дифференциальное уравнение

          .

Найдем сначала импульсную переходную функцию, зная ее связь с ПФ и используя теорему разложения. ПФ содержит один полюс , следовательно,

          , 

и

          .

Переходная функция (см. рисунок)

.

Используя выражение для переходной функции, можно определить:

h(T) = 0,632 k = 0,632 h_уст

h(2T) = 0,865 h_уст

h(3T) = 0,950 h_уст

h(4T) = 0,982 h_уст

Таким образом, переходный процесс практически закончится при .

Постоянная времени T является мерою инерционности апериодического звена. Чем меньше значение Т, тем быстрее протекает переходный процесс.

Частотная характеристика

.

АЧХ            .

ФЧХ  .

Таким образом, в апериодическом звене фазовый сдвиг зависит от частоты, причем максимальный фазовый сдвиг будет равен –p/2 при w®¥.

ЛАЧХ     .

ЛФЧХ         .

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) усилительного, интегрирующего и дифференциального звеньев являются прямыми линиями, и легко могут быть построены. Построение ЛЧХ апериодического и остальных звеньев требует вычислений, которые без использования ЭВМ достаточно трудоемки. Поэтому в большинстве случаев на практике ограничиваются построением приближенных асимптотических ЛЧХ, на основании которых уже могут быть сделаны все основные выводы о динамических свойствах звена.

Рассмотрим алгоритм построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена.

Асимптотическая ЛАЧХ. При малых частотах  второе слагаемое под радикалом , и им можно пренебречь; тогда . При больших частотах  под радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с , и тогда . Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в точке, соответствующей частоте , называемой частотой сопряжения (см. рисунок). Реальная ЛАЧХ апериодического звена (показана пунктиром) имеет максимальное отличие от асимптотической (3 дБ) при частоте сопряжения.

Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте сопряжения   . При малых  , а при больших  . На практике при частотах, близких к частоте сопряжения (±1 декада) ЛФЧХ может без большой погрешности заменена линейной зависимостью, проходящей через точку  (см. рисунок).

Форсирующее звено 1-го порядка

 – постоянная времени

Из эквивалентной схемы видно, что это звено подает на выход входной сигнал и его производную.

Дифференциальное уравнение

          .

Переходная функция (см. рисунок)

          .

Весовая функция:

          .

Частотная характеристика

          .

АЧХ            .

ФЧХ            .

Как и дифференцирующее звено, форсирующее звено 1-го порядка является помехонеустойчивым, поскольку усиливает высокочастотные составляющие входного сигнала.

ЛАЧХ         .

ЛФЧХ         .

Поскольку ПФ форсирующего звена 1-го порядка обратна ПФ апериодического звена (при k=1), то ЛЧХ форсирующего звена являются зеркальным отображением относительно оси частот соответствующих характеристик апериодического звена при k=1 (см. рисунок).

Колебательное звено

 – коэффициент передачи;   – постоянная времени

Иногда используют другую форму записи ПФ колебательного звена:

,

где 0<x<1 – коэффициент демпфирования;

       – угловая частота колебательного звена;

      a, b – модули действительной и мнимой частей полюсов ПФ колебательного звена.

Доказательство. Корни уравнения  равны