Умножение оригиналов. Теорема 7

Умножение оригиналов

Теорема 7. Если решетчатая функция  и  является оригиналом, то произведение этих функций  также является оригиналом и выполняется равенство:

Здесь

И должно выполняться условие:

Где  и  - показатели роста функций  и .

Доказательство:

Так как  и  - оригиналы, то для них справедливы:

И отсюда следует оценка модуля произведений этих двух функций:

Здесь и .

Таким образом  является оригиналом с показателем роста .

Теперь применяя D-преобразование функции , получим:

Используя формулу прямого D-преобразования и равенство:

мы получим:

Изменение порядка суммирования и интегрирования, которые мы применили, законно, если сходится равномерно ряд . Для этого должно выполняться условие  или .

Если  всегда выполняется, то получим . Величину можно выбрать сколь угодно близкой к .

Теорема доказана.