Синтез ДСАУ по заданной переходной функции

3. Синтез ДСАУ по заданной переходной функции

Сформулируем задачу синтеза следующим образом: найти структуру и параметры компенсационного  регулятора, обеспечивающего заданные показатели качества динамического процесса при единичном входном воздействии и заданной переходной функции скорректированной системы.

Будем полагать, что используется экстраполятор нулевого порядка; желаемая переходная характеристика h_ж[n] учитывает влияние периода квантования Т. Предположим, что каким-то способом найдена желаемая решетчатая функция переходной характеристики цифровой системы h_ж[n]. Тогда можно записать:

Y(z) = Z{ h_ж[n]} = Фж(z)·X(z) = C₀z⁰ + C₁z^-1 + C₂z^-2 +…+ C_kz^-k,            (1)

где Фж(z) – дискретная передаточная функция замкнутой системы;

      X(z) = 1/(1 – z^-1) – z-преобразование единичного ступенчатого сигнала.

С другой стороны, формулу (1) можно представить в виде:

Y(z) = C₀z⁰ + C₁z^-1 + C₂z^-2 +…+ C_kz^-k =

                 1               b₀ + b₁z^-1 + … + b_mz^-m

= Фж(z)·——— = ——————————— ,                                         (2)

             1 – z^-1       a₀ + a₁z^-1 + … + a_m+1z^-(m+1)

где b₀ = 0; a₀ = 1;

      c_i – коэффициенты ряда Лорана;

      m – степень характеристического уравнения замкнутой цифровой системы, причем m<k;

      k – число интервалов квантования, необходимых для вхождения дискретной переходной характеристики h_ж[n] в трубку с заданным отклонением от установившегося значения h_ж[:].

Взаимосвязь коэффициентов a_i, b_i, c_i устанавливается следующими соотношениями:

b₀    = a₀·c₀,

b₁    = a₁·c₀ + a₀·c₁,

b₂    = a₂·c₀ + a₁·c₁ + a₀·c₂,

………….

b_m   = a_m·c₀ + a_m-1·c₁ + a_m-2·c₂ +…+ a₀·c_m,

b_m+1 = 0 = a_m+1·c₀ + a_m·c₁ + … + a₀·c_m+1.                                         (3)

Для расчета m+2 коэффициентов a_i могут быть использованы следующие m+2 уравнения, получаемые при продолжении записи равенств (3):

            a_m+1·c_j + a_m·c_j+1 + … + a₀·c_m+j+1 = 0,

            a_m+1·c_j+1 + a_m·c_j+2 + … + a₀·c_m+j+2 = 0,

            ………….

            a_m+1·c_j+m + a_m·c_j+m+1 + … + a₀·c_2m+j+1 = 0,

            a_m+1·c_j+m+1 + a_m·c_j+m+2 + … + a₀·c_2m+j+2 = 0.                                     (4)

Каждое из m+2 уравнений системы (4) имеет m+2 слагаемых, где j может принимать любые значения от 0 до k-m.

Дополнительно, для проверки полученных результатов расчета, может быть использовано равенство:

i=m+1

Σ  a_i = 0.                                                                                (5)

i=0

После расчета по уравнениям (4) коэффициентов a_i  знаменателя выражения (2) можно рассчитать коэффициенты числителя b_i по соотношениям (3).

Из соотношения (2) следует, что коэффициенты числителя желаемой передаточной функции замкнутой системы Фж(z) совпадают с коэффициентами b_i числителя выражения (2). Коэффициенты ã_i  знаменателя желаемой передаточной функции вычисляются из следующих простых соотношений:

a₀ = ã₀;

a₁ = ã₁ - ã₀;

a₂ = ã₂ – ã₁;

……….

a_i = ã_i – ã_i-1;                                                                                        (6)

Таким образом, передаточная функция замкнутой цифровой системы управления Фж(z), соответствующая желаемой переходной характеристике h_ж[n], принимает вид

                 b₀ + b₁z^-1 + … + b_mz^-m

 Фж(z) = ——————————— .                                             (7)

                ã₀ + ã₁z^-1 + … + ã_m+1z^-(m+1)

Принимая во внимание, что при использовании компенсационного цифрового регулятора D(z)

                           D(z)W₀(z)   

Фж(z) = ¾¾¾¾¾¾                                                         

             1+D(z)W₀(z)   

выражение, определяющее передаточную функцию регулятора, принимает вид

                         1              Фж(z)       

D(z) = ¾¾  ּ ¾¾¾¾ ,                                                                (8)

            W₀(z)  1 - Фж(z)       

где W₀(z) – передаточная функция минимально-фазового и устойчивого объекта управления.

Заметим, что полученное выражение передаточной функции цифрового регулятора (8) желательно упростить, сокращая при этом близкие нули и полюсы, лежащие внутри единичной окружности.