Синтез оптимальных по быстродействию линейных систем

Лекция №17

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При синтезе оптимальных по быстродействию систем обычно требуется определить либо закон управления типа (5.15) в функции времени, либо законы управления типа (3.138) или (3.141). В первом случае управление и°(t) обеспечивает оптимальные по быстродействию процессы при разомкнутом', управлении объектом, а во втором случае управление и⁰(X) или и⁰(Е) определяет структуру оптимального регулятора, где Е – вектор координат ошибок е₁(t), e₂ (t), ..., е_п (t).

Основная задача при определении алгоритмов оптимальных управлений и°(t) состоит в нахождении моментов переключения реле , ( 1, 2, ..., п), так как на основании теоремы об п интервалах управление является релейным с числом интервалов не более п, на которых и°(t) = ±U_max, и имеет место (п – 1) переключение реле.

Определение моментов переключения t_vв общем случае является сложной задачей. Моменты переключения сигнала управления со значения +U_maxна значение –U_maxможно рассчитать различными методами, например методами «сшивания» решений [2].

Метод «сшивания» решений. Пусть дифференциальное уравнение одномерного линейного объекта при отсутствии ограничений координат выхода и без учета возмущающих воздействий имеет вид

.                                      (5-25)

Тогда для определения t_vможно применить способ «сшивания» решений уравнения (5.25) со знакопеременной правой частью и (t) = ± U_max.

Запишем известное решение уравнения (5.25) при различных вещественных корнях характеристического уравнения объекта на интервалах:

                              (5.26)

где C_ov определяется на интервалах u значением и(t) и заданным конечным значением координаты выхода; C_iv– постоянные интегрирования, зависящие от заданного вектора начального и конечного состояний X(t₀) и X(Т); р_i ≠ 0 – корни характеристического уравнения объекта (для устойчивого объекта p_i< 0).

Рассмотрим процесс перевода объекта из заданного начального состояния t₀= 0, при котором , в заданное конечное установившееся состояние

Пусть начальное управление  тогда на конце первого интервала управления

                                   (5.27)

После переключения реле значение координаты выхода

.                                             (5.28)

Приравнивая правые части (осуществляя «сшивание» решений), получим

                                                                                                 (5.29)

Аналогично (5.27)–(5.29) необходимо записать выражения для  В результате получим n уравнений с 2n неизвестными постоянными интегрирования C_i1и C_i2. Постоянные C_i1определяются начальными условиями при t= 0, поэтому из уравнений для начала первого интервала запишем

                                   (5.30)

Уравнения (5.30) позволяют определить постоянные С_i1, подставив которые в уравнения, записанные после «сшивания» решений в момент первого переключения реле, получим п уравнений для определения постоянных C_i2, которые выражаются через моменты первого переключения t₁.

Аналогично продолжаем решение до последнего интервала, для которого постоянные интегрирования C_inбудут выражены через t_n=Т. В результате исключим постоянные интегрирования и получим n трансцендентных уравнений с п неизвестными t_v. Решение этих уравнений в общем случае является очень трудоемким и производится обычно на ЦВМ [2].

В случае, когда уравнение объекта (5.25) имеет п нулевых корней, моменты переключения [17]

.                       (5.31)

На основании выражения (5.31) можно сделать вывод, что моменты переключений t_vзависят от начальных и конечных значений координаты выхода объекта, а также от величины U_max.

Если время переходного процесса

,(5.32)

то моменты t_v могут быть определены графически (рис. 5.5) путем деления полуокружности, диаметр которой равен T, на п равных частей и проектирования полученных точек на ось абсцисс [17]. На рис. 5.5 принято п= 4.

Особое значение при расчете моментов переключения реле t_vимеет выбор знака сигнала управления на первом интервале и₁°. Если начальное и конечное состояния объекта установившиеся, то [17]

                                          (5.33)

В общем случае выражение для и₁° будет более сложным, чем (5.33).

Методы математического программирования. Рассмотрим применение методов математического программирования для определения длительности интервалов управления по уравнениям переходных состояний объекта. Пусть одномерный объект задан уравнениями состояния

                                       (5.34)

которым соответствуют уравнения переходных состояний [см. (2.11)]:

                                  (5.35)

Разделим интервал времени [t₀, t_K] на п интервалов Dt₁:

                                                   (5.36)

С учетом (5.36) и |u(Dt_i)| = U_max = const вместо (5.35) запишем уравнения переходных состояний на интервалах управлений [t_i, t_i–1].

                                      (5.37)

                                                                                                                           (5.38)

Тогда задача синтеза оптимального управления и⁰(t), обеспечивающего минимум времени переходного процесса (оптимальное быстродействие), может быть сформулирована как задача математического программирования типа (3.148) для значения вектора координат состояния на последнем интервале X(Dt_n) = X(t_к):

(5.39)

Рис. 5.5

Рис. 5.6

Чтобы решить задачу (5.39), необходимо применить методы нелинейного программирования, так как уравнения (5.38) являются нелинейными относительно искомых Dt_i. При этом .