Разработка математической модели, временных и частотных характеристик заданного элемента. Построение теоретических и экспериментальных (имитационное моделирование) частотных характеристик звена первого порядка

Министерство образования РФ

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Факультет вечерне – заочного обучения

Кафедра «Управление и информатика в технических системах»

Курсовой проект по предмету

 «Математическое моделирование элементов систем управления»

                                                                         Выполнил студент гр. УИТ – 31в

                                                                                                                Сухов Д.А.

                                                                        Проверил

                                                                                                            Бирюков В.П.

Балаково 2005

Задания к курсовому проекту:

Задание 1. Построить математическую модель, временные и частотные характеристики заданного элемента. Провести моделирование прохождения через элемент различных сигналов во временной области.

1.1. Построить математическую модель элемента в виде дифференциального

       уравнения.

1.2.Построить передаточную функцию элемента по заданному каналу.

1.3.Используя вычеты получить выражения и построить графики весовой и

      переходной характеристик.

1.4.Используя символьные вычисления MathCad , получим выражения и

      построим графики весовой и переходной характеристик. Полученные 

      результаты сравнить с результатами п.3.

1.5.Рассчитать и построить графики амплитудно – частотной, фазо-частотной

      характеристик, логарифмических частотных характеристик элемента.

      Проверить в MathCad.

1.6. В Matlab составить схему и произвести моделирование прохождения

       через исследуемый элемент ступенчатого , импульсного и   

        синусоидального сигнала. Полученные результаты сравнить с   

        результатами     п.3,4.

1.7. Провести анализ прохождения через элемент случайного сигнала.

        Задание 2. Построить теоретические и экспериментальные (имитационное моделирование) частотные характеристики звена первого порядка.

Задание 3. Для заданного типа электрического двигателя постоянного тока и параметров нагрузки  построить дифференциальное уравнение и передаточную функцию электропривода по скорости при управлении по напряжению якоря. Провести моделирование различных режимов работы электропривода в MatLab.

3.1. Построить математическую модель электропривода в виде

      дифференциального уравнения.

3.2. Построить передаточную функцию электропривода по каналу:

      напряжение якоря - скорость электропривода.

3.3. Определить количественные оценки параметров математической модели.

3.4. Построить схему моделирования электропривода в MatLab, построить

       переходные процессы:

-  запуска электропривода при подаче на якорь номинального напряжения

-  останова электропривода при снятии напряжения с якоря

-  переходной процесс при пуске двигателя при U=0,4Uном и дальнейшем ступенчатом изменении напряжения до U=0,8Uном

Задание 1.

1.1.  Построим математическую модель элемента в виде  дифференциального уравнения.

R1L2

●                                                                                      ●                               

                                                                                R2

U1                                                                                            U2

I1

●                                                                                       ●                               

    рис.1 «Эквивалентная схема объекта управления»

R1=374 [Ом]

R2=423 [Ом]

L1=  18 [Гн]

1.Зададимся направлением контурного тока I1.

2.Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для первого контура.

U1:=I1(R1+R2)+L1I1

3.По закону Ома

    U2:=I1*R2  ,  тогда  I1:=U2/R2

    U1:=

    U1:= 

   

4.Запишем уравнение в стандартной форме, для чего выходную переменную перенесём в левую часть .

5.Обозначим          =         ;        =      

Тогда математическая модель в виде дифференциального уравнения будет иметь вид

          

              

Дифференциальное уравнение имеет вид :

1.2.  Построим передаточную функцию по каналу    U1U2

 Преобразуем уравнение по Лапласу и запишем модель в виде передаточной функции как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к  преобразованию Лапласа входной переменной.

Для этого производную заменяем символом p , а переменные , зависящие от времени записываем как функции переменной p .

  Отношение преобразования Лапласа от выходной переменной к преобразованию Лапласа от входной переменной

         

       

Передаточная функция имеет вид :

1.3. Используя вычеты получим выражения и построим графики

       весовой и переходной характеристик элемента .

Операторный метод решения дифференциальных уравнений основан на использовании преобразования Лапласа, позволяющего преобразовать дифференциальное уравнение в алгебраическое, что упрощает их решение.

Последовательность нахождения реакции элементов систем управления на временной входной сигнал x(t):

-  нахождение преобразования Лапласа x(p) от входного сигнала x(t)

-  нахождение преобразования выходного сигнала y(p)=W(p)·x(p)

-  нахождение временного выходного сигнала y(t) путем обратного преобразования Лапласа выходного сигнала y(p)

Последовательность обратного преобразования Лапласа от y(p)=M(p)/N(p):

-  определяются корни характеристического уравнения выражения для y(p)

-  в зависимости от вида корней записывается выражение для выходной переменной y(t).

1.3.1.  Построим весовую характеристику системы. Преобразуем по Лапласу входной сигнал δ(t) – дельта функция Дирака.

Тогда выходной сигнал:

Найдем обратное преобразование Лапласа от y(p). Для этого необходимо найти корни характеристического уравнения.

   

Т. к. корень простой (не комплексный), не нулевой, не кратный, то выражение для y(t) при t≥0 имеет вид:

 ;     ; 

Весовая характеристика будет иметь вид:

             

                    рис.2 «График весовой характеристики системы»

1.3.2.  Построим переходную характеристику системы. Преобразуем по           Лапласу входной сигнал 1(t) – функция Хевисайда.      

                                                

Тогда выходной сигнал: