Построение математической модели объекта управления в пространстве состояний

1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

1.1 Построение математической модели для электрической схемы

Рассмотрим построение математической модели в пространстве состояний для объекта управления, представленного в виде электрической схемы, изображенной на рисунке 1.

Рисунок 1 ­- Эквивалентная схема объекта управления

Таблица 1 - Параметры элементов схемы объекта управления

Вычисления производятся в системе MathCAD.

В третьем уравнении есть интеграл, поэтому дифференцируем его:

= 0                                           (4)

В уравнениях 1, 2 и 4 введем фиктивные переменные Х₁, Х₂ и Х₃, но с производными на один порядок ниже:

 =                                                            (5)

 =                                                                                           (6)

 =                                                                                             (7)

Находим производные от фиктивных переменных. Из (4) следует:

                                    (8)

Из (5) следует:

                                      (9)

Из (2) следует:

                                                        (10)

В данных уравнениях имеется 6 переменных: i₁, i₂, i₃, X₁, X₂, X₃. Необходимо уйти от i₁, i₂, i₃,  выразив их через X₁, X₂, X₃.

                                                                                             (6*)

                                                                                             (7*)

Подставляем в (1) выражения для токов (6*), (7*) и выражаем i₁:

                                     (11)

Выражаем через X₁, X₂, X₃ их производные. Из (8) следует:

                                                                                     (12)

Подставляем значения токов в (9) и (10):

(13)

       (14)

Теперь имеем уравнения, выраженные в зависимости от X₁, X₂, X₃ и е(t). Запишем математическую модель данной системы в нормальной фор­ме Коши:

                                                                                 (15)

 Уравнение (15) – это уравнение наблюдения для входной величины, где входное напряжение U равно ЭДС

 U = |e|

Уравнение выходной величины объекта:

                                                                         (16)

Основываясь на уравнениях (11), (12), (13) и (14), получаем запись уравнения Коши в матричной форме.

Подставим исходные данные и получим математическую модель в пространстве состояний:

                             (17)

                             (18)

1.2 Построение графа системы и нахождение передаточной функции

Рисунок 2 ­– Граф системы

Рисунок 3 – Структурная схема системы

1.3 Нахождение передаточной функции схемы с использованием формулы

Мейсона

Формула Мейсона имеет вид:

                                                                                (19)

,

где       k - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Р_k - коэффициент передачи k-ого пути от входа к выходу;

∆_к - определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

-сумма всех возможных произведений из 2-ух не касающихся

 контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из 3-ех не касающихся

контуров.

Определим и запишем уравнения всех путей графа от входа к выходу:

Найдем уравнения замкнутых контуров:

Запишем выражение для определителя графа:

Определители путей:

Передаточная функция графа и всей системы:

                                    (20)

2 ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

С помощью обратного преобразования Лапласа найдем переходную функцию по уравнению передаточной функции (20):

     (21)

Рисунок 4 ­– Переходный процесс системы

Определим прямые оценки качества. Установившееся значение тока h_уст равно 2,1∙10^-3 А. Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине:

Величина перерегулирования выходного параметра при переходном процессе:

h_max = 3,5∙10^-3 А

                         (22)

Время переходного процесса регулирования температуры t_п=19,6 с.

Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимального значения температуры при переходном процессе) t_н=0,45 c.

Время первого согласования (время, когда регулируемая величина  в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,04 c.

Колебательность системы n определяет число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса и равно единице.

Найдем импульсную функцию:

 (23)

Рисунок 5 – Импульсный переходный процесс системы

Найдем частотные характеристики.

Амплитудно-частотную характеристику определяем по формуле:

                                                             (24)

Рисунок 6 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определим показатели качества системы по амплитудно-частотной характеристике. Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения):

ω_р = 1,14 рад/с

Показатель колебательности переходного процесса:

μ = А_max / A(0) = 3,58∙10^-3/2,18∙10^-3=1,64

Полоса пропускания (диапазон частот, в пределах которых система пропускает входной сигнал без существенных искажений) определяется при амплитуде, равной:

A(ω_пр) = 0,707∙A_max = 0,707∙3,58∙10^-3 = 2,53∙10^-3

По графику видно, что ширина полосы пропускания равна диапазону частот:

ω_пр = 0,07… 12,56 рад/с

Фазо-частотная характеристика имеет вид:

                                                                        (25)

Рисунок 7 – Фазо-частотная характеристика системы

3 СИНТЕЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

3.1 Определение передаточной функции формирующего фильтра

По заданной корреляционной функции K_x(τ) в программе Mathcad определяем спектральную плотность S_x(ω) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

    (26)

                                     (27)

Определим спектральную плотность:

                                                      (28)

                (29)