Построение математической модели объекта управления в пространстве состояний. Построение графа системы и нахождение передаточной функции системы

1. Построим математическую модель объекта управления в пространстве состояний.

Эквивалентная электрическая схема объекта управления приведена на рис.1

R1=343Ом

R2=378Ом

R3=119Ом

R4=233Ом

L2=23Гн

L3=47Гн

C1=43668*Ф

Входной сигнал: U

Выходной сигнал: I3

1.Структурная схема объекта управления

В схеме 3 элемента, запасающих энергию, следовательно, ММ должна быть 3-го порядка.

При построении математической модели следует учитывать следующие выражения для связи токов, напряжений и комплексных сопротивлений элементов электрической схемы:

Для сопротивления R        U=R                           I=                    

Для индуктивности L        U=                 I=              Z

Для емкости C                    U=              I=             Z

2.Построим математическую модель.

2.1. Зададимся направлением контурных токов I1, I2, I3.

2.2. Составим 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа для контуров.

Продифференцируем уравнение (2), чтобы уйти от интеграла

 

2.3.Введем вектор состояния объекта управления х1, х2, х3

              отсюда

                 

Подставим токи

Упростим полученные выражения

Запишем полученную систему дифференциальных уравнений в матричном виде.

Получим матричное уравнение для выходной переменной

 Y=C*x+D*U

Т.к.    то 

Тогда.   С=

D=0

3.Построим граф системы, и по полученному графу найдем передаточную функцию системы.

Перепишем уравнение в общем виде для построения графа

.

Построение графа производим за два шага.

1. Ставим точки входа, выхода системы U, I3 и векторы параметров x1, x2, x3.

2. Соединим все параметры связями согласно системе уравнений.

3.Составим структурную схему ОУ

Найдем передаточную функцию системы по формуле Мейсона.

к - количество возможных путей от входа к выходу

-определитель графа

- коэффициент передачи к пути от входа к выходу

-определитель всех касающихся контуров при удалении к - го пути

1.В данном случае имеется один путь от входа к выходу

2.В системе имеется 5 замкнутых контура:

                          

3.Определитель системы включает 5 контуров и 4 пары не касающихся контуров

4.

5.Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:

4. По полученной передаточной функции найдем выражение для весовой и переходной характеристик и построим их графики.

Найдем корни характеристического уравнения

p1=-4.81

p2=-0.106

p3=29.015

1.весовую характеристику системы найдем по формуле

Рассчитаем компоненты весовой функции

M (p) =p*(0.043*p-0.343)

M (p1) =2.385

M (p2) =0.035

M (p3) =26.216

N (p) = 

N1 (p) =

N1 (p1) =59.674+217.897-131.793=145.778

N1 (p2) =0.031+4.983-131.793=-126.779

N1 (p3) =2523-1416.824-131.793=974.383

Весовая характеристика будет иметь вид

w (t)= 

2.Найдем переходную характеристику системы

Переходная характеристика системы будет иметь вид

Построим графики весовой и переходной функции

Построение весовой и переходной характеристик системы, используя преобразования MathCAD.

Данное решение совпадает с решением, полученным в ручную

5.Расчитаем и построим графики амплитудно–частотной и амплитудно–фазовой характеристик, логарифмических частотных характеристик элемента системы управления.

Ручной расчет по передаточной функции.

для этого сделаем замену в передаточной функции p=j*w

W (jw) =

Освободимся от мнимых чисел в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя выражения на комплексно сопряженное число знаменателю.

После перемножения скобок приведения подобных членов и разделения вещественной и мнимой частей в числителе получаем.

U (w) =

V (w) =

A (w) =

Операторный метод расчета.

Заменим p=jw

 

j=

U (w) =Re (W (j*w))-вещественная частотная характеристика

-мнимая частотная характеристика

-амплитудно-частотная характеристика

6. Решение уравнения Коши при ступенчатом и импульсном входе.

Решение уравнения Коши имеет вид

При нулевых начальных условиях первый член равен 0

Нахождение матричной переходной функции производим по формуле Лагранжа-Сильвестра.

Введем параметры матрицы А, B, C.

          

Найдем корни матрицы А

Единичная матрица Е

В данном случае матрица В не зависит от времени и U(t)=1. Подынтегральное выражение

Равно:

Матрицы в MathCAD не интегрируются и не дифференцируются. Поэтому надо интегрировать отдельно элементы матриц. Нам необходимо найти выражение для

поэтому далее используем только строку для

Интегрируем выражение решения уравнения Коши для переменной х2

Переобозначим х2(t) в xx2(t)

Найдем выходную переменную через элементы матриц. С и D

Решение совпадает с решением, полученным в ручную