Построение математической модели управления. Синтез формирующего фильтра. Вариант № 23

Задание

Вариант № 23

R1	R2	R3	R4	R5	R6	L1	L2	L3	L4	C1	C2
335	389	114	219	–	199	–	30	50	23	–	17180*10-6

 

e(t),e₁(t) – входные величины

i₃ – выходная величина

1. Построение математической модели управления

1. 1 Построение математической модели для электрической схемы

Постоим математическую модель объекта управления в пространстве состояния. Структурная схема объекта управления:

В схеме четыре элемента, запасающих энергию следовательно математическая модель должна быть четвертого порядка.

1.2 Построение математической модели:

Составляем четыре уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров и найдем систему уравнений, описывающую объект управления по методу контурных токов:

            (1)

     (2)

В исходной системе уравнений следует избавиться от всех интегралов, продифференцировав уравнения.

Избавляемся от интеграла в последнем уравнении системы (2):

           (3)

Используя метод условного интегрирования, следует ввести фиктивные переменные, равные элементам, взятым из уравнении, но на 1 или более порядков ниже.

В нашем случае, используя метод условного интегрирования, вводим фиктивные переменные, равные элементам, взятым из уравнения (3) на 1 и 2 порядка ниже и из 2-го и 3-го уравнений системы (2):

                (4)

Находятся производные по времени от фиктивных переменных и, применяя предыдущие уравнения, выражаются зависимостями от токов фиктивных переменных.

     (5)

Из системы (4) и первого уравнения системы (2) выразим токи таким образом, чтобы они зависели только от фиктивных переменных.

                 (6)

Полученные выражения токов подставим в систему (5) и дополним выражением для выходной величины, в результате получим:      (7)

По полученной системе уравнений и уравнению для выходной величины объекта регулирования записывается математическая модель в нормальной форме Коши:

-уравнение наблюдения.

-уравнение выходной величины объекта,

где  A,B,C,D – матрицы;

      Х – матрица внутренних переменных;

      U – матрица входных переменных, в данном случае U – ЭДС.

В данном случае матрицы будут иметь вид:

                 

                                                            

Получаем математическую модель в пространстве состояний

1.3 Построение графа системы и нахождение передаточной функции

 

L6

L4

L2

1/p

1/p

1/p

0.02

12.837

8.557

1

e₁(t)

i4

 

1

e(t)

Рис.1 Граф

Перейдем от графа к структурной схеме

 

Рис 2. Структурная схема

С помощью формулы Мейсона найдем передаточную функцию системы:

,

Где

к – количество возможных прямых путей от входа к выходу

– определитель графа

Р_к – коэффициент передачи к-того пути от входа к выходу

– определитель всех касающихся контуров при удалении к – того пути

Где

 – Сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров

– сумма всех возможных произведений из 2-х не касающихся контуров

– сумма всех возможных комбинаций из 3-х не касающихся контуров

Определим прямые пути:

                     

В системе имеется 6 замкнутых контуров:

         

       

Находим определитель графа :

Находим определители путей:

    

Запишем передаточную функцию:

1.4 Прямые и косвенные оценки качества

По полученной передаточной функции найдем выражения для весовой и переходной характеристик, АЧХ и ФЧХ, построим графики.

Рис.3 График переходной функции

h(t)_уст = 0,00299         – установившееся значение переходного процесса

h(t)_max = 0,00299        – максимальное значение переходного процесса 

t_пп= 7 с                       – Время переходного процесса

t_сог= 12 с                     – Время первого согласования

t_нар= 12 с                    – Время нарастания

n = 0                           – Количество колебаний

   – Перерегулирование

Рис. 4 График весовой функции

Рис. 5 График АЧХ

	Значение амплитуды при нулевой частоте    –  Максимальное значение амплитуды              – Резонансная частота                                         –

Частоту среза определить невозможно т.к. АЧХ не достигает единичного значения.

Для определения полосы пропускания проведем  

Полоса пропускания от до

Показатель колебательности  

Рис. 6 График ФЧХ

2. Синтез формирующего фильтра

Корреляционная функция:

Определим спектральную плотность случайного сигнала:

Построим график спектральной плотности:

Рис. 7 График спектральной плотности

Передаточная функция формирующего фильтра  находится из выражения:

где    - спектральная плотность белого шума.

Белый шум – стационарный случайный процесс, имеющий постоянную

спектральную плотность.

В рамках курсовой работы S_V(ω) принимается равной 1.

Получаем для квадрата модуля частотной характеристики:

Находим корни знаменателя:

Из коэффициентов полинома составим вектор.

С помощью функции polyroots , в Mathcad, найдем корни знаменателя

Строим корни на комплексной плоскости:

5

4

3

2

0

1

Рис. 8 График корней m на комплексной плоскости

Находим корни числителя:

Строим корни на комплексной плоскости:

2

3

0

1

 

Рис. 9 График корней n на комплексной плоскости

Из корней верхней полуплоскости формируем выражение для :

Так как сомножитель знаменателяобразуется из решения уравнения

   то его можно заменить непосредственно этим уравнением. Получаем:

Преобразуем от iω к р:

Приведя подобные получим передаточную функцию формирующего фильтра:

Рис. 10 График передаточной функции

h(t)_уст =         – установившееся значение переходного процесса

h(t)_max =        – максимальное значение переходного процесса 

t_пп= 7 с                       – Время переходного процесса

t_сог= 12 с                     – Время первого согласования

t_нар = 12 с                   – Время нарастания

n = 0                           – Количество колебаний

   – Перерегулирование

Рис. 11 График АЧХ

	Значение амплитуды при нулевой частоте    –  Максимальное значение амплитуды              – Резонансная частота                                         –

Частоту среза определить невозможно т.к. АЧХ не достигает единичного значения.

Для определения полосы пропускания проведем  

Полоса пропускания от до

Показатель колебательности  

Вывод:

Анализируя полученные графики переходного процесса и АЧХ можно сказать, что формирующий фильтр, введённый в систему с объектом управления, не изменяет устойчивость этой системы. Изменились лишь некоторые показатели качества:

Без фильтра	С фильтром
hуст=0,00299	hуст=4.76*10-5
hmax=0,00299	hmax=4.76*10-5
A(0)=0.00299	А(0)=4.76*10-5
Amax=0.00299	Amax=4.76*10-5