Построение математической модели объекта управления в пространстве состояний, страница 2

Рисунок 8 – спектральная плотность входного сигнала фильтра

Передаточная функция формирующего фильтра Ψ(jω) находится из выражения:

                                                                          (30)

где       S_V(ω) - спектральная плотность белого шума.

Белый шум – стационарный случайный процесс, имеющий постоянную спектральную плотность.

S_V(ω) = const

В рамках курсовой работы S_V(ω) принимается равной 1.

Получаем для квадрата модуля частотной характеристики:

                                                                 (31)

                (32)

Находим корни знаменателя:

     (33)

Аналогично находим корни числителя:

    (34)

Строим корни на комплексной плоскости, изображенной на рисунке 9.

Из корней верхней полуплоскости формируем выражение для Ψ(ω).

                                     

    (35)

Рисунок 9 ­– Корни уравнения фильтрующего фильтра

Раскрываем скобки в числителе и две последние скобки в знаменателе:

Так как первый сомножитель знаменателя  образуется из решения уравнения

то его можно заменить непосредственно этим уравнением.

Передаточная функция фильтра определяется путем замены i∙ω на р в выражении для Ψ(ω):

Открываем скобки и приводим подобные. В результате получаем передаточную функцию формирующего фильтра:

                 (36)

3.2 Расчёт системы с формирующим фильтром

Пропустим выходной сигнал формирующего фильтра через объект управления в виде электрической схемы.

 

Рисунок 10 – Структурная схема системы с формирующим фильтром

Переходную функцию системы определяем по формуле:

                                                                         (37)

На рисунке 11 и 12 изображен график полученной переходной характеристики системы в различных масштабах.

Рисунок 11 – Начало переходного процесса системы с формирующим

фильтром в крупном масштабе

Рисунок 12 – Переходный процесс системы с формирующим фильтром

Определим прямые оценки качества. Установившееся значение тока h_уст  равно 2,76∙10^-7 А. Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине:

Величина перерегулирования выходного параметра при переходном процессе зависит от максимального значения выходного параметра системы:

h_max = 7,2∙10^-7 А

Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимального значения температуры при переходном процессе) t_н=0,43 c.

Время первого согласования (время, когда регулируемая величина  в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,02 c.

Колебательность системы определяет число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса и равна бесконечности.

Рисунок 12 – АЧХ системы с формирующим фильтром

Амплитудно-частотную характеристику определяем по формуле:

                       (38)

Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения):

ω_р = 0,94 рад/с

Показатель колебательности переходного процесса:

μ = А_max / A(0) = 4,50∙10^-7/2,87∙10^-7=1,57

Полоса пропускания (диапазон частот, в пределах которых система пропускает входной сигнал без существенных искажений) определяется при амплитуде, равной:

A(ω_пр) = 0,707∙A_max = 0,707∙4,50∙10^-7 = 3,18∙10^-7

По графику видно, что ширина полосы пропускания равна диапазону частот:

ω_пр = 0,02…14,49 рад/с

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения работы мы освоили математические методы теории систем и приобрели практические навыки анализа систем с применением современных программых и технических средств. В результате анализа мы нашли прямые и косвенные оценки качества системы:

– установившееся значение тока h_уст  = 2,1∙10^-3 А;

– величина перерегулирования выходного параметра σ = 67%;

– время переходного процесса регулирования температуры t_п  = 19,6 с;

– время нарастания регулируемой величины t_н  = 0,45 c;

– время первого согласования  t₁  = 0,04 c;

– колебательность системы n = 1;

– резонансная частота системы ω_р = 1,14 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ  = 1,64;

– полоса пропускания частот ω_пр = 0,07…12,56 рад/с.

Анализ системы, полученной путём пропускания входного сигнала через формирующий фильтр показало, что его применение ведёт к ухудшению показателей качества системы. В частности это привело к появлению высокогармоничных составляющих в сигнале, значительным автоколебаниям и, как следствие, отсутствию установившегося состояния объекта управления.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

Графическая часть

1 Математическая модель в пространстве состояний     22

2 Передаточная функция системы  по формуле мейсона                23

3 График переходного процесса                                                   24

4 График амплитудно-частотной характеристики                      25

5 Анализ формирующего фильтра                                               26

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

  

Сигнальный граф

Структурная схема системы

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ПО ФОРМУЛЕ МЕЙСОНА

,

где       k - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Р_k - коэффициент передачи k-ого пути от входа к выходу;

∆_к - определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

-  сумма всех возможных произведений из двух некасающихся

 контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из трёх

некасающихся контуров.

Передаточная функция системы

ГРАФИК ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

Прямые оценки качества:

– установившееся значение тока h_уст  = 2,1∙10^-3 А;

– величина перерегулирования выходного параметра;

– время переходного процесса регулирования температуры t_п  = 19,6 с;

– время нарастания регулируемой величины t_н  = 0,45 c;

– время первого согласования  t₁  = 0,04 c;

– колебательность системы n = 1.

ГРАФИК АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

Косвенные оценки качества:

– резонансная частота системы ω_р = 1,14 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ  = 1,64;

– полоса пропускания частот ω_пр = 0,07… 12,56 рад/с.

АНАЛИЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Передаточная функция формирующего фильтра

Переходный процесс системы           Амплитудно-частотная характеристика

с формирующим фильтром                  системы с формирующим фильтром

Прямые оценки качества системы с формирующим фильтром:

– установившееся значение тока h_уст = 2,76∙10^-7 А;

– величина перерегулирования выходного параметра σ = 444%;

– время нарастания регулируемой t_н = 0,43 c;

– время первого согласования t₁ = 0,02 c;

– колебательность системы равна бесконечности.

Косвенные оценки качества системы с формирующим фильтром:

– резонансная частота ω_р = 0,94 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ = 1,57;

– полоса пропускания A(ω_пр) = 3,18∙10^-7 А;

– ширина полосы пропускания ω_пр = 0,02÷ 14,49 рад/с.