Оптимальные системы автоматического управления, страница 5

  (10)

Рассмотрим частный случай, когда условия (5) выбраны в виде (6), а функционал (4) принят квадратичным. Тогда, для задачи оптимизации линейной системы, которая описывается уравнениями вида:

 

и квадратичного функционала:

Уравнения Эйлера-Лагранжа примут вид:

 

  (11)

 

Граничные условия для этой задачи можно выбрать в следующем виде:

 

Каждое из последних уравнений системы (11) имеет решение:

Если и для всех , то из равенства (6) следует:

 

И система (11) принимает вид:

 

 

что соответствует случаю, когда на управление  не накладывается ограничений.

Если же , из равенства (6) следует:

То есть управление  достигает граничных условий.

Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем

Принцип максимума определяет необходимые условия оптимальности управления в нелинейных управляющих системах. Он распространен и на случаи, когда на координаты состояния системы накладываются ограничения. Рассмотрим основную теорему принципа максимума и дадим более удобную формулировку оптимального управления.

Пусть оптимальное управление описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

   (1)

или в векторной форме:

Здесь:

 - -мерный вектор состояния объекта

 - -мерный вектор управляющих воздействий

- функция правой части уравнения (1)

Полагаем, что вектор управления принимает значения из некоторой замкнутой области U r-мерного пространства управлений. Положим, что функции  непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные производны по переменным состояния . Назовем допустимыми управлениями те управления , которые являются кусочно-непрерывными функциями времени и принимают значения из множества U.

Основная задача оптимального управления формулируется следующим образом: среди всех допустимых управления, приводящих изображающую точку в фазовом пространстве X из начального положения  в конечное , если эти управления существуют. И нужно найти такие управления, для которых функционал:

   (2)

достигает минимума.

Введем новую переменную , которая определяется следующим дифференциальным уравнениям:

 (3)

Здесь - подынтегральная функция функционала (2).

Присоединив уравнение (3) к системе уравнений (1), получим:

  (4)

Запишем (4) в векторной форме. Для этого введем в рассмотрение (n+1)-ый вектор координат состояния: , тогда в векторной форме записи это уравнение запишется следующим образом:

  (5)

Здесь:

вектор правых частей системы (5).

Заметим, что вектор-функция  не зависит от координаты  вектора . Обозначим через  точку с координатами  в (n+1)-ом фазовом пространстве . Пусть - некоторое допустимое управления, для которого соответствующая фазовая траектория (1) проходит при через точку . А при выполнении равенства  через точку .

Из уравнения (2) следует, что координата определяется равенством:

Если , то будем иметь:

Таким образом, в пространстве  фазовая траектория системы (5), соответствующая тому же управлению , проходит при  через точку , а при  через точку . Это иллюстрирует следующий рисунок:

Обозначим через П прямую в пространстве , проходящую через точку  и параллельную оси . Тогда основную задачу оптимально управления можно сформулировать следующим образом:

В (n+1)-мерном пространстве  заданы начальная точка  и прямая П,  параллельная оси  и проходящую через точку . Среди всех допустимых управлений, обладающих тем свойством, что решение системы (5) с начальными условиями проходит через точку прямой П, необходимо выбрать такое управления, для которого координата точки  имело бы минимальное значение.

Сформулированная задача представляет собой задачу Майера на условный экстремум. Однако в силу ограничений, накладываемых на допустимое управление методами классического вариационного исчисления, эта задача не решается.

Формулировка теоремы, дающей необходимое условие экстремума:

Введем в рассмотрение вспомогательные переменные , которые удовлетворяю следующей системе уравнений:

  (6)

Система (6) называется сопряженной по отношению к системе уравнений (5). Если выбрать некоторое допустимое управление на отрезке  и найти соответствующее ему решение с заданными начальными условиями , то при подстановки в систему уравнений (6) управления  и решения , получим линейную однородную систему уравнений:

  (7)

Система (7) удовлетворяет условиям существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.
Системы уравнений (5) и (6) можно объединить одной формой записи, для этого надо ввести в рассмотрение функцию H:

  (8)

Здесь:

Тогда системы (5) и (6) запишутся следующим образом:

   (9)

  (10)

Отметим, что вектор функций  и  непрерывны всюду, кроме точек разрыва допустимого управления . Эти вектор-функции имеют непрерывные производные. При фиксированных значениях  и  функция H становится функцией только управления .

Теорема 1

Пусть , когда , такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория , исходящая при  из точки , проходит в момент времени  через некоторую прямую П. Для оптимальности управления и траектории  необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , которая соответствует функциям  и , что:

1.  При любом  функция  достигает по максимума, то есть справедливо равенство:

  (11)

2.  В конечный момент времени  имеют место соотношения:

  (12)

Можно показать, то если вектор-функции удовлетворят уравнениям (9) и (10), то функции  и  являются постоянными, так что проверку условий (12) можно проводить в любой момент времени их интервала .